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y=\log x\,のグラフ上に2点(a,\ \log a),\ (b,\ \log b)\ がある.$ \\[.5zh]    [2]\ \ \,$y=\log x\,のグラフ上に3点(a,\ \log a),\ (b,\ \log b),\ (c,\ \log c)\ がある.$ \\[.5zh]  $y=\log x$に限らず,\ 上に凸の関数ならば同様の不等式が成立する. \\\\  $関数y=f(x)上に2点(a,\ f(a)),\ (b,\ f(b))がある.$ \\[.5zh]  $\textcolor{cyan}{上に凸}ならば,\ \textcolor{magenta}{2点の中点\left(\bunsuu{a+b}{2},\ \bunsuu{f(a)+f(b)}{2}\right)はグラフの下側}にある.$ \\[1zh] \centerline{$\therefore x=\bunsuu{a+b}{2}\,におけるy座標を比較すると   これらを利用して,\ 様々な不等式を導くことができる(\textcolor{magenta}{下に凸ならば不等号の向きが逆転}). \\[.5zh]   \rei\ \ $y=\sin x\ は\ \textcolor{cyan}{0\leqq x\leqq\pi\ で上に凸}であるから \textcolor{red}{\sin\bunsuu{a+b}{2}\geqq\bunsuu{\sin a+\sin b}{2}}$ \\\\ 2変数と3変数の場合の出題が多いが,\ n変数についても次が成り立つであろうことが推測される. \\[.2zh]  f\hspace{-.2zw}\left(\bunsuu{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right)\geqq\bunsuu{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n} \\[.8zh] これの数学的帰納法による証明は次の項目で取り上げる. \\[.2zh] n変数への拡張が容易であることが凸不等式の利点の1つである.