検索用コード
x>0のとき,\ e^x>1+x+\bunsuu{x^2}{2}\ が成り立つことを示せ.$ \\[1zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ $\dlim{x\to\infty}\bunsuu{x}{e^x}\ を求めよ.$ \\   e^x\,のマクローリン展開式(大学で学習)は e^x=1+\bunsuu{x}{1\kaizyou}+\bunsuu{x^2}{2\kaizyou}+\bunsuu{x^3}{3\kaizyou}+\cdots\cdots \\[.8zh] x>0のときは各項が正なので,\ これを途中で打ち切った式はe^x\,よりも小さいはずである. \\[.2zh] 本問の不等式はこのような観点で導かれたものである. \\[1zh] 証明は基本的な手法で容易にできる. \\[.2zh] ただし,\ 1階微分では符号が識別できないので2階微分が必要になる. \\[.2zh] f”(x)>0とf'(0)=0からf'(x)>0がわかり,\ さらにf(0)=0からf(x)>0が示される. \\[1zh] (2)の極限は,\ (1)の不等式を利用してはさみうちの原理にもちこむパターンである. \\[.2zh] e^x>\bunsuu{x^2}{2}\ の逆数をとると \bunsuu{1}{e^x}<\bunsuu{2}{x^2}   両辺にx\,(>0)\ を掛けると \bunsuu{x}{e^x}<\bunsuu2x \\[.8zh] 1+x+\bunsuu{x^2}{2}\ から\ \bunsuu{x^2}{2}\ のみを取り出したのを不自然に感じただろうか.\ \dlim{x\to\infty}\bunsuu{x}{e^x}=0\ と予想される. \\[.6zh] 0<\bunsuu{e^x}{x}\ は明らかなので,\ 後は極限が0になる関数で上から\ \bunsuu{x}{e^x}<\bunsuu2x\ などとはさめばよい. \\[.6zh] これは\ e^x>\bunsuu12x^2\ を示すことと同値である. \\[.6zh] つまり,\ 不等式からたまたまはさめたのではなく,\ はさむためにまず不等式を証明したのである. \\[1zh] もっとも,\ (1)の不等式をそのまま使っても問題はない. \\[.5zh] \bunsuu{1}{e^x}<\bunsuu{1}{1+x+\bunsuu{x^2}{2}} より \bunsuu{x}{e^x}<\bunsuu{x}{1+x+\bunsuu{x^2}{2}}\ \ (x>0) \\[.5zh] \dlim{x\to\infty}\bunsuu{x}{1+x+\bunsuu{x^2}{2}}=\dlim{x\to\infty}\bunsuu{\bunsuu1x}{\bunsuu{1}{x^2}+\bunsuu1x+\bunsuu12}=0\ \ (不定形なので分母分子を分母の最高次x^2\,で割る) \hspace{.5zw}$nを0以上の整数とする.$ \\[.5zh] 数学的帰納法$ \\[.3zh]          $\textcolor{red}{f’\,_{k+1}(x)>0}\ より,\ \textcolor{cyan}{f_{k+1}(x)\ はx>0において単調増加関数}である.$ \\[.4zh]       さらに\ $\textcolor{red}{f_{k+1}(0)=0}\ より,\ \textcolor{red}{f_{k+1}(0)>0}\ (x>0)\ が成立する.$ \\\\ [1],\ [2]より,\ \bm{0以上の全ての整数nについて与不等式が成立する.}$} \\\\\\ はさみうちの原理}より  前問を一般化した問題であり,\ 数学的帰納法を用いる以外はほぼ同様である. \\[.2zh] n=1からではなくn=0からの数学的帰納法であることに注意する. \\[.2zh] 絶対必要ではないが,\ 下線部を記述しておくと目標が明確になり,\ 部分点を稼ぎやすくなる. \\[.2zh] 前問と同様に微分して示す.\ \bm{f_{k+1}(x)\,を微分すると仮定した\,f_k(x)\,が現れる}ことがポイントになる. \\[.2zh] (2)も前問と同様の発想で求められる. \\[.2zh] \bunsuu{x}{e^x}\ のとき\ \bunsuu{x^2}{2}\ を用いたので,\ \bunsuu{x^n}{e^x}\ ならば\ \bunsuu{x^{n+1}}{(n+1)\kaizyou}\ を用いればよい. \\[.6zh] (1)で示したのは\ e^x>1+\bunsuu{x}{1\kaizyou}+\cdots+\bunsuu{x^n}{n\kaizyou}\ だが,\ これは0以上の全ての整数nについて成立する. \\[.6zh] よって,\ e^x>1+\bunsuu{x}{1\kaizyou}+\cdots+\bunsuu{x^{n+1}}{(n+1)\kaizyou}\ も成り立つといえ,\ これを利用することになる.   \textbf{\textcolor{blue}{指数関数・整関数・対数関数の強さ比較}} \\[1zh]    $\bm{\textcolor{cyan}{\dlim{x\to\infty}\bunsuu{x^n}{e^x}=0}}\ は,\ \bm{\textcolor{red}{e^x\ がx^n\ よりも圧倒的に速く発散する}}ことを意味している.$ \\[.5zh]    $x^{1000}\,だろうがx^{10000}\,だろうがe^x\,のほうが速く発散するわけである.$ \\\\    $\dlim{x\to\infty}\bunsuu{x^n}{e^x}=0\ を利用して整関数と対数関数の発散の速さも比較できる.$ \\[1zh    $これは,\ \bm{\textcolor{red}{xが\log xよりも圧倒的に速く発散する}}ことを意味している.$ \\\\    $結局,\ x\,→\ \infty$の世界での強さは\ $\bm{\textcolor{red}{(指数関数)\gg(整関数)\gg(対数関数)}}$\ となる. \\\\[1zh]    $さらに,\ \dlim{x\to\infty}\bunsuu{(\log x)^n}{x}=0\ を利用して次の極限も示される.$ \\\\ 特に,\ n=1のときの\ \dlim{x\to\infty}\bunsuu{x}{e^x}=0,\ \ \dlim{x\to\infty}\bunsuu{\log x}{x}=0,\ \ \dlim{x\to+0}x\log x=0\ が重要である. \\[.8zh] この流れの証明の仕方をおさえておいてほしい.