ハイレベルなので難関大学受験生が対象である。

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解けない漸化式\ x_{n+1}=f(x_n)\ で定められた数列x_n\,の極限\dlim{n\to\infty}x_nの求め方}}$ \\[.8zh]   [1]\ \ $\bm{\textcolor{red}{x=f(x)\ の解}}を求める(求めることができない場合は\ \bm{\textcolor{red}{\alpha}}\ とおく).$ \\[.8zh]   [2]\ \ $\bm{\textcolor{cyan}{平均値の定理}}を用いて\ \bm{\textcolor{red}{\zettaiti{x_{n+1}-\alpha}\leqq r\zettaiti{x_n-\alpha}\ \ (00\ より,\ \textcolor{red}{g(x)は単調に増加}する.$ \\[.5zh] g(x)=0はただ1つの解をもつ.$ \\\\ \centerline{$\therefore \bm{x=f(x)\,はただ1つの解をもつ.}$} \\\\ x=f(x)が解をもつ\ \Longleftrightarrow\ x-f(x)=0\,が解をもつ\ \Longleftrightarrow\ g(x)=x-f(x)\,がx軸と交点をもつ \\[.2zh] 単調増加であることと極限から,\ x軸とただ1つの交点をもつことがわかる.     $平均値の定理より,\ \textcolor{red}{\bunsuu{f(x)-f(y)}{x-y}=f'(c)\ を満たすcがxとyの間に存在する}.$ \\[.5zh] 平均値の定理を利用するときは\bm{場合分け}を要する. \\[.2zh] 平均値の定理は\ f(x)-f(y)=f'(c)(x-y)\ に変形できるから,\ これの絶対値をとる. \\[.2zh] さらに,\ \bm{\zettaiti{f'(c)}の最大値を求める}と不等式が作成できる. \\[.2zh] a_0=aになるまで\bm{不等式をn回繰り返して適用}した後,\ はさみうちの原理を適用する. \\[.5zh] 漸化式を用いると,\ a_0=a,\ a_1=f(a_0),\ a_2=f(a_1),\ \cdots\cdots\ のように順に値が定まっていく. \\[.2zh] これを図形的に見たのが上図である.\ まず,\ x軸上に任意の点(a,\ 0)をとる. \\[.2zh] a_1=f(a_0)=\cos a_0=\cos a\ より,\ x=aにおけるy座標がa_1\,である. \\[.2zh] 点(a,\ a_1)からx軸の正方向に移動していったとき,\ y=xとの交点が(a_1,\ a_1)となる. \\[.2zh] このようにして,\ y座標a_1をx座標a_1に移し変えることができる. \\[.2zh] a_2=f(a_1)=\cos a_1\,より,\ x=a_1におけるy座標がa_2\,である. \\[.2zh] 点(a_1,\ a_2)からx軸の負方向に移動していったとき,\ y=xとの交点が(a_2,\ a_2)となる. \\[1zh] 以上を繰り返していくと,\ 渦を巻くように点(\alpha,\ \alpha)に収束していくことがわかる. \\[.2zh] 最初の点(a,\ 0)をx軸上のどこにとっても点(\alpha,\ \alpha)に収束することを確認してほしい. \\[1zh] \bm{収束条件は\,r=\zettaiti{f'(x)}<1},\ つまり\ \zettaiti{傾き}<1\ である.  \\[1zh] 本問を逆にとらえると,\ \bm{近似値を求めるアルゴリズム(逐次代入法)}を示している. \\[.2zh] つまり,\ x=\bunsuu12\cos x\ の解の近似値を求めたい場合,\ 漸化式\ a_{n+1}=\bunsuu12\cos a_n\ を作成する. \\[.8zh] そして,\ a_0\,(任意の値)から順に代入していけば,\ \alpha\ にどんどん近づいていくというわけである. \hspace{.5zw}$関数f(x)を\ f(x)=\bunsuu12x\{1+e^{-2(x-1)}\}\ とする.$ \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ $x>\bunsuu12\ ならば\ 0\leqq f'(x)<\bunsuu12\ であることを示せ.$ \\[1zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ $x_0\,を正の数とするとき,\ 数列\suuretu{x_n}\ (n=0,\ 1,\ \cdots)\ をx_{n+1}=f(x_n)によって$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}   $定める.\ x_0>\bunsuu12\ であれば,\ \dlim{n\to\infty}x_n=1\ であることを示せ.    [東京大]$ \\ f'(x)のグラフの最小が0以上,\ 最大が\,\bunsuu12\,未満であることを示せばよい. \\[.2zh] 後で\ \zettaiti{f'(c)}<\bunsuu12\ として用いるための誘導である. \end{array}}\right]$}} \\\\\\\\  (2)\ \ $f'(x)\geqq0\ より,\ \textcolor{cyan}{f(x)はx>\bunsuu12\ で単調に増加}する.$ \\[.5zh]    $\ また,\ \textcolor{cyan}{f\hspace{-.2zw}\left(\bunsuu12\right)=\bunsuu{1+e}{4}>\bunsuu12}\ より,\ \textcolor{red}{x>\bunsuu12\,のとき\ f(x)>\bunsuu12}\ である.$ \\[1.5zh]    $\textcolor{red}{x_n>\bunsuu12}\ であることを数学的帰納法を用いて示す.$ \\[.5zh]     $[1],\ [2]より,\ \textcolor{red}{0以上のすべての整数nについて\ x_n>\bunsuu12}\ が成立する.$ \\\\[1zh]     $平均値の定理より \textcolor{red}{\bunsuu{f(x_n)-f(1)}{x_n-1}=f'(c)\ を満たすcがx_nと1の間に存在する.}$ \\[.5zh]     $ここで \dlim{n\to\infty}\left(\bunsuu12\right)^n\zettaiti{x_0-1}=0$ \\[.5zh]     $はさみうちの原理より \dlim{n\to\infty}\zettaiti{x_n-1}=0$ \\[1zh] \dlim{n\to\infty}\zettaiti{x_n-1}=0\ を目指せばよいとわかる. \\[.2zh] 基本的な流れは前問と同様だが,\ \bm{定義域\ x>\bunsuu12\,が存在する}点が異なる. \\[.5zh] この場合,\ \bm{x_n>\bunsuu12\,を示してはじめて,\ (1)を利用して\ \zettaiti{f'(c)}<\bunsuu12\ とすることができる}. \\\\ このことを数学的帰納法を用いて記述すればよい. \\[1zh] 後は場合分けをして考える.\ x_n\neqq1\,のときは前問と同様である. \\[.2zh] x_n=1\,のときは,\ f(1)=1より,\ x_1=f(x_0)=f(1)=1,\ x_2=f(x_1)=f(1)=1,\ \cdots\ である.