symmetrical-expression

最後の別ページとは3次関数とその接線の交点の座標のことです。

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x^2-xy+y^2=1\ のとき,\ xy+x+y\ の最大値と最小値を求めよ.$ \\[1zh] \hspace{.5zw}$(2)\ x+y+z=2,\ x^2+y^2+z^2=2\ のとき,\ x^3+y^3+z^3\ の最大値と$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$\phantom{(2)}\ 最小値を求めよ.$ \\[1zh] \hspace{.5zw}$(3)\ 1つの頂点から出る3辺の長さがx,\ y,\ zであるような直方体にお$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$\phantom{(1)}\ いて,\ x,\ y,\ zの和が6,\ 全表面積が18であるとき,\ 体積の最大値$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$\phantom{(1)}\ を求めよ.                     [東京大]$ \\ x+y=u,\ xy=v \phantom{ (1)}\ $x,\ yの実数条件より 2変数で1つの条件式があるので,\ 実質1変数の問題である. \\ しかし,\ 簡単には1文字消去ができない. \\ そこで,\ \bm{条件式もxy+x+yも対称式}であることに着目する. \\ \bm{基本対称式で表し置換することで,\ 文字消去が容易になる.} \\ ただし,\ この置換では,\ \bm{消去する文字x,\ yの実数存在条件の確認}を要する. \\ (x+y,\ xy)\to(u,\ v)とするとき,\ \to は常に可能である. \\ しかし,\ ←\ は常に可能なわけではない. \\ 例えば,\ u=2,\ v=3を満たす実数x,\ yは存在しない. \\ x,\ yは,\ t^2-2t+3=0の2解となるが,\ D/4=-2\ だからである. \\ よって,\ この置換では,\ \bm{判別式で実数x,\ yの存在を保証する}必要が生じるのだ. \\ 結局,\ -2\leqq u\leqq2\ の範囲で,\ 最大・最小を求めることになる. \\ u=2のとき,\ v=1より,\ x,\ yは,\ t^2-2t+1=0の2解である. \\ t=1\ (重解)\ より,\ (x,\ y)=(1,\ 1) \\ 3変数で2つの等式があるから,\ 実質1変数の問題である. \\ 普通の1文字消去は容易ではないので,\ 全ての式が対称式であることを利用する. \\ ただし,\ 3変数の対称式ではなく,\ \bm{2変数の対称式と考える}のがポイントである. \\ 上では,\ \bm{yとzの対称式と見て,\ xのみの式にすることを目指した.} \\ まず,\ 基本対称式y+zとyzを,\ それぞれxのみで表す. \\ そして,\ \bm{消去する文字y,\ zの実数存在条件(判別式)から,\ xの範囲を求める.} \\ x^3+y^3+z^3もxのみで表せば,\ 単なる3次関数の最大・最小問題に帰着する. \\ 本問は,\ 3変数x,\ y,\ zいずれについても対称な問題であった. \\ しかし,\ 解く過程では,\ \bm{2変数についての対称性のみを利用}している. \\ つまり,\ \bm{3変数対称でなくても,\ 2変数対称でさえあれば使える解法}なのである. \\ その意味では,\ 見た目以上に適用範囲が広い解法といえる. \phantom{ (1)}\ また  $表面積\ 2(xy+yz+zx)=18 より \textcolor{cyan}{xy+yz+zx=9}$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ さらに $体積を\ \textcolor{red}{xyz=V}\ とおく.$ \\[1zh] \phantom{ (1)}\ $\textcolor{cyan}{x,\ y,\ zは,\ t^3-6t^2+9t-V=0\ の3つの実数解}である.$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ $定数Vを分離すると  \phantom{ (1)}\ $f(t)=t^3-6t^2+9t\ とおく.$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ $\textcolor{red}{y=f(t)とy=Vのグラフが,\ 3交点をもつときのVの最大を考える.}$ \\[.2zh] ただし,\ x,\ y,\ zは正であるから,\ \phantom{ (1)}\ $f'(t)=0\ とすると,\ t=1,\ 3\ より,\ 増減表とグラフは以下となる.$ \\[.5zh] 2変数について対称であるから,\ (2)と同様の方法で解くこともできる. \\ しかし,\ \bm{3変数のいずれに関しても対称であることを利用}すると楽である. \\ まず,\ 基本対称式\ x+y+z,\ xy+yz+zx,\ xyz\ を確認する. \\ xyzはわからないため,\ Vとおき,\ \bm{3次方程式を作成}する. \\ \bm{定数Vを分離すると,\ 3次関数と直線の交点として図形的な考察が可能になる.} \\ この3次方程式の解は,\ 直方体の3辺の長さだが,\ 3辺の長さは当然正である. \\ よって,\ \bm{3つの正の実数解をもつ中で,\ Vを最大にすればよい}ことになる. \\ Vを動かすと, のとき,\ 3つの正の実数解(交点)をもつ}とわかる. \\ ただし,\ V=4のとき,\ (接点)=(重解)より,\ t=1の交点を2つ分と数えている. \\ 以上から,\ \bm{V=4のときが最大}であることが分かる. \\ このとき,\ \bm{直方体の3辺の長さは,\ t=1,\ 1,\ 4}である. \\ なお,\ V=4のときのt=4は,\ 素早く求めることができるようにしておこう. \\ .