homogeneous-expression2

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一般の同次式には,\ 基本的な扱いがある. \\  \textbf{\textcolor{blue}{同次式}}は,\ \textbf{\textcolor{red}{比の置換によって,\ 1変数関数に帰着する.}} \\  まず,\ \textbf{\textcolor{cyan}{比の形にするために,\ 一方の文字の最高次の項で割る}}ことになる. \\\\ tの実数存在条件 1文字消去法などの基本的な解法は難しい. \\ \bm{=k\ とおいて,\ \maru1と\maru2を満たすx,\ yの実数存在条件を考える(逆像法).} \\ \bm{2つの式から定数部分を消去}することで,\ \bm{2次同次式}\ (\maru3)となる. \\ まず,\ 両辺をyで割る前に,\ y=0の場合を分けておく. \\ y\neqq0のとき,\ \bm{両辺をy^2\ で割り,\ \bunsuu xy=t\ とおくと,\ 1変数に帰着する.} \\ 実数tが存在すれば,\ t=\bunsuu xy\ より,\ 対応する実数x,\ yが存在する. \\ よって,\ \bm{実数tが存在するようkを定める.} \\ tの2次式なので,\ \bm{判別式}により,\ kのとりうる値の範囲が定まる. \\ ここで,\ 「\maru1かつ\maru2」\Leftrightarrow「\maru1かつ\maru3」より,\ \maru3から求まるkの値は必要条件である. \\ \maru1かつ\maru3を満たす実数x,\ yを実際に求めて十分性を示す. \\ kが最大・最小をとるのは,\ D=0のときである. \\ よって,\ tの値は,\ 重解\ t=-\bunsuu{-8k}{2(4k-1)}=\bunsuu{4k}{4k-1}\ として求められる. \\ \left(\because\ ax^2+bx+c=0\ において,\ 重解\ x=-\bunsuu {b}{2a}\right) {(相加平均)\geqq(相乗平均)}{t=2のとき等号が成立}する.$ \\[1zh] \bm{分母分子がいずれも2次同次式の分数}であり,\ この場合も比の置換に持ち込める. \\ 分母分子をx^2\ で割ると,\ tの1変数関数に帰着する. \\ 置換した文字\ t=\bunsuu yx\ がとりうる値の範囲を考える.とすると間違える. \\ 2つの不等式を商で合体させるのは危険なので,\ \bm{積\ y\cdot\bunsuu1x\ と考えて合体させる.} \\ 置換後,\ \bunsuu{(1次式)}{(2次式)}\ となるが,\ この形の最大の求め方は頻出パターンである. \\ \bm{変数tを分母に集めるために,\ 分母分子をtで割る.} \\ すると,\ \bm{分母に相加平均と相乗平均の関係が適用できる}形が表れる. \\ 相加相乗で最大を求めるのであるから,\ \bm{等号成立条件}の確認も忘れずに行う.