逆像法ではその性質上、「方程式が少なくとも1つの実数解をもつ条件」に帰着することが多い。詳しくは 2次方程式の解の存在範囲 高難度の最終形態 へ。

range

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値域を求めよ.実数解の取りうる値の$ \\[.2zh] 範囲を求めよ.$ \\\\ \hspace{.5zw}$(3)\ 実数x,\ yがx^2-2xy+2y^2=1を満たすとき,\ xおよび2x+yの$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$\phantom{(1)}\ 取りうる値の範囲を求めよ.$ \\\\ \hspace{.5zw}$(4)\ 実数x,\ yがx^2+y^2=1を満たすとき,\ x+yの取りうる値の範囲を$ \\[.2zh]  (1)\ 分母を払って整理すると $\textcolor{red}{yx^2+(-4y-1)x+5y+2=0}$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ $このxの方程式が,\ \textcolor{red}{少なくとも1つの実数解をもつことと同値}である.$ \\[1zh] 分数関数の値域を普通に求めるには,\ 数\text{I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}I}の微分が必要である. \\ しかし,\ 逆像法を用いると,\ 数\text{I\hspace{-.1em}I}までの範囲で求めることができる場合がある. \\ 数\text{I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}I}を学習しない文系にとっては必須である. \\ \bm{すべての実数xの集合に対応するすべての像の集合が値域}である. \\ xを1つ定めると,\ それに対応するyが定まる. \\ 逆に考えると,\ \bm{値域のyには,\ 対応する逆像xが存在しているはず}である. \\ よって,\ \bm{xの実数存在条件を考える.}\ そのために,\ 分母を払って\bm{xで整理}する. \\ 念のため,\ (分母)=x^2-4x+5=(x-2)^2+1\neqq0であることに留意しておく. \\ 見かけ上xの2次方程式となるが,\ 2次の係数が文字なので場合分けを要する. \\ つまり,\ 2次の係数yが0のときは2次方程式とはならないので別個に考える. \\ 元の式で\bm{y=0として計算すると,\ 対応する実数xが存在する}ことがわかる. \\ これは,\ \bm{y=0が値域に含まれる}ことを意味している. \\ y\neqq0のとき,\ \bm{xの2次方程式}となる.\ よって,\ \bm{実数存在条件は判別式}で求まる. \\ 求まった範囲が,\ 場合分けの条件を満たすか否かの確認を忘れない. \\ y=0は値域内,\ y\neqq0で\ が値域,\ 合わせて答える. \\ 結局,\ \bm{yの範囲が,\ もう一方の文字xの存在を追求して求まる}のである. \phantom{ (1)}\ $これが\textcolor{red}{0\leqq a\leqq2に少なくとも1つの実数解をもつことと同値}である.$ \\[1.5zh] 2つの実数解をもつ(重解を含む)}とき$ \\[.5zh] \bm{0\leqq a\leqq2の全てのaに対応する全ての像の集合が実数解の取りうる値の範囲.} \\ aを1つ定めると,\ それに対応するxが求まる. \\ 逆に,\ \bm{取りうる値の範囲内のxには,\ 対応する逆像aが存在しているはず}である. \\ よって,\ \bm{aの実数存在条件を考える.}\ そのために,\ \bm{aで整理}する. \\ aの2次方程式となるが,\ 0\leqq a\leqq2\ があるため,\ 単純にD\geqq0では済まない. \\ \bm{aは0\leqq a\leqq2に存在していなければならない}のである. \\ 結局,\ \bm{解の存在範囲(解の配置)問題に帰着}する. \\ その中でも,\ 「特定の範囲に少なくとも1つ実数解をもつ」は最も厄介な型である. \\ しかし,\ 逆像法を用いた場合,\ その性質上よくこの型に帰着する. \\ この型は落とし穴も含めてよく扱い方を確認しておいて欲しい(別ページ). \\ (x-2)^3(x+2)\leqq0\ を両辺をで割ると,\ (x-2)(x+2)\leqq0\ (x\neqq2) \\ x=2のとき,\ 0\leqq0となるから成り立つ. \\ \bm{「xの範囲が,\ もう一方の文字aの存在を追求して求まる」}という構造を要確認. \\  (3)\ $yで整理すると \textcolor{red}{2y^2-2xy+x^2-1=0}$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ $このyの方程式が,\ \textcolor{red}{少なくとも1つの実数解をもつことと同値}である.$ \\[1zh] \phantom{ (1)}\ 整理すると $\textcolor{red}{13x^2-10kx+2k^2-1=0}$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ $このxの方程式が,\ \textcolor{red}{少なくとも1つの実数解をもつことと同値}である.$ \\[1zh] 前半は,\ 前問と実質同じ問題である. \\ \bm{xの範囲を求めるには,\ もう一方の文字yの存在を追求すればよい.} \\ yの2次方程式であり,\ 範囲もないので,\ \bm{実数存在条件はD\geqq0だけで済む.} \\ 後半を考える. \\ x^2-2xy+2y^2=1を満たすようにx,\ yを定めると,\ 対応する2x+yが定まる. \\ わかりやすくするために,\ 2x+y=kとおいて,\ 逆に考える. \\ \bm{取りうる値の範囲内のkには,\ 対応する逆像(x,\ y)が存在しているはず}である. \\ を満たす実数(x,\ y)が存在するようkを定める. \\ yの消去でxの2次方程式となるから,\ \bm{xの実数存在条件D\geqq0でkが求まる.} \\ xが存在し,\ kが定まれば,\ 2x+y=kにより,\ yの存在も保証される. \\ \bm{「kの範囲が,\ 残りの文字(x,\ y)の存在を追求して求まる」}という構造を要確認. 円x^2+y^2=1と直線x+y-k=0が交点をもつ}条件は$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ $x+y-k=0と原点との距離  前問の後半と全く同じ問題である. \\ を満たす実数(x,\ y)が存在するようkを定める. \\ もちろん,\ 前問と同様に求めてもよいが,\ もう1つの求め方を示す. \\ 円と直線の方程式であるから,\ \bm{座標平面に容易に図示}することができる. \\ \bm{連立方程式が実数解をもつとは,\ 図形的には交点をもつことを意味する.} \\ よって,\ \bm{円と直線が交点をもつようなkの範囲を求めればよい}のである. \\ x+y-k=0,\ つまりy=-x+kは,\ 傾き-1,\ y切片kの直線である. \\ 傾き-1の直線が円と交わるとき,\ そのy切片の取りうる範囲がkの範囲となる. \\ 結局,\ 上図のように,\ 円と直線が接する状態の間の範囲を考えればよい. \\ 接点の座標(x,\ y)が必要ない場合は,\ 点と直線の距離の公式を利用する. \\ 結局,\ (円の中心と直線の距離)\leqq(円の半径)でkの範囲が定まる. \\ 接点の座標(x,\ y)が必要な場合は,\ 連立して判別式の利用によって求める. \\ この場合,\ 前問と全く同じ計算をすることになる. \\ 「=kとおいて交点をもつ範囲を考える」という方法だけは知っていただろう. \\ しかし,\ その方法の根幹には,\ 逆像法の考え方があったのである.