(2)は通称「閻魔の唇問題」と呼ばれており、1950年代に東大が出題してから有名になったとか。

transformation

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ある集合からその集合自身への写像}を\textbf{\textcolor{blue}{変換}}という. \\  本問は,\ 座標平面から座標平面への写像であるから,\ 変換の問題である. \\  $\textcolor{cyan}{-1\leqq x\leqq1,\ -1\leqq y\leqq1を満たす点(x,\ y)}を1つ決める.$ \\  すると,\ $それに\textcolor{magenta}{対応する点(x+y,\ x-y)}が1つ定まる.$ \\  例えば,\ $\textcolor{cyan}{(x,\ y)=(0,\ 1)}に対応する点は,\ \textcolor{magenta}{(x+y,\ x-y)=(1,\ -1)}である.$ \\  これを逆に考える. \\  \textbf{\textcolor{magenta}{点}}$\bm{\textcolor{magenta}{(x+y,\ x-y)}には,\ 対応する\textcolor{cyan}{逆像(x,\ y)}が存在しているはずである.}$ \\\\  例えば,\ $\textcolor{magenta}{点(0,\ 2)}は,\ (x+y,\ x-y)の動く領域内にあるだろうか.$ \\  $x+y=0,\ x-y=2を解くと,\ \textcolor{cyan}{(x,\ y)=(1,\ -1)}である.$ \\  これは,\ $条件\ \textcolor{cyan}{-1\leqq x\leqq1,\ -1\leqq y\leqq1を満たす.}$ \\  \scalebox{0.96}[1]{\textcolor{red}{逆像}$\textcolor{red}{(1,\ -1)が存在するから,\ 点(0,\ 2)は(x+y,\ x-y)の動く領域内にある.}$} \\  では,\ $\textcolor{magenta}{点(4,\ 0)}は,\ (x+y,\ x-y)の動く領域内にあるだろうか.$ \\  $x+y=4,\ x-y=0を解くと,\ \textcolor{cyan}{(x,\ y)=(2,\ 2)}である.$ \\  これは,\ $条件\ \textcolor{cyan}{-1\leqq x\leqq1,\ -1\leqq y\leqq1を満たさない.}$ \\  \textcolor{red}{逆像}$\textcolor{red}{が存在しないから,\ 点(4,\ 0)は,\ (x+y,\ x-y)の動く領域にはない.}$ \\  座標平面上の点は無限にあるから,\ 一般化し,\ 点を$(X,\ Y)$として考える. \\  $\bm{\textcolor{red}{(X,\ Y)の逆像(x,\ y)が存在するよう(X,\ Y)の集合を定めればよい.}}$ \\\\\\ \centerline{$\therefore \bm{求める領域は,\ 右下図の斜線部分.\ 境界線を含む.}$} \\\\ まず,\ \bm{x,\ yをX,\ Yで表す.} \\ \bm{それを元のx,\ yの条件に代入して消去すると,\ X,\ Yが満たすべき条件がわかる.} \\ x,\ yが満たすべき条件とx,\ yとX,\ Yの関係が既知である. \\ この状況で,\ 未知のX,\ Yが満たすべき条件を求めたい. \\ そこで,\ x,\ yについて解いた関係式を,\ 既知のx,\ yの条件に代入して求めるのだ. \\ 結局,\ \bm{この変換で,\ 左図の領域内の点が,\ 右図の領域内の点に移る}ことがわかる. \\ \bm{「X,\ Yの条件が,\ 残りの文字x,\ yの存在を追求して求まる」}という構造を確認.  (2)\ $\textcolor{magenta}{x+y=X,\ xy=Y}\ とおく.$ \\[1zh] \phantom{ (1)}\ ここで,\ $\textcolor{cyan}{x,\ y}\ は,\ t^2-\textcolor{magenta}{X}t+\textcolor{magenta}{Y}=0\ の2つの解である.$ \\[.2zh] \ が実数であるための条件は \centerline{$\therefore \bm{求める領域は,\ 右下図の斜線部分.\ 境界線を含む.}$} \\\\ \bm{写像が基本対称式である(x,\ y)\to(x+y,\ xy)の変換はパターン認識を要する.} \\ x^2+y^2\leqq1をX,\ Yで表して,\ Y\geqq\bunsuu12X^2-\bunsuu12としただけで終わってはいけない. \\ 実は,\ この変換は,\ \bm{(x,\ y)に制限がなくても,\ 自動的に(X,\ Y)が制限される.} \\ 例えば,\ (X,\ Y)=(2,\ -3)の逆像(x,\ y)は存在するだろうか. \\ x+y=2,\ xy=-3より,\ x,\ yは,\ t^2-2t-3=0の2つの解である. \\ よって,\ t=-1,\ 3となり,\ 逆像(-1,\ 3),\ (3,\ -1)が存在する. \\ 逆像が存在するから,\ (2,\ -3)は(x+y,\ xy)が動く領域内にあるといえる. \\ では,\ (X,\ Y)=(1,\ 1)の逆像(x,\ y)は存在するだろうか. \\ より,\ 実数解が存在しない. \\ つまり,\ 逆像が存在せず,\ (1,\ 1)は,\ (x+y,\ xy)が動く領域内にはないといえる. \\ (x,\ y)\to(x+y,\ x-y)の変換では,\ (X,\ Y)に対応する(x,\ y)は必ず存在した. \\ x=\bunsuu{X+Y}{2},\ y=\bunsuu{X-Y}{2}\ より,\ (X,\ Y)から(x,\ y)が求まるからである. \\ しかし,\ (x,\ y)\to(x+y,\ xy)の変換の場合は,\ 同様にはいかない. \\ 上の例のように,\ (X,\ Y)に対応する(x,\ y)が存在しない場合があるのである. \\ では,\ \bm{(x,\ y)が存在するような(X,\ Y)の条件はどのように求まるだろうか.} \\ \bm{x+y=X,\ xy=Yであるとき,\ x,\ yを解にもつ2次方程式を作成できる.} \\ そして,\ \bm{実数解条件(判別式)}により求めることになる. \\ \bm{置換(x+y,\ xy)=(p,\ q)を行うとき,\ 常にこの隠れた条件に注意しよう.} \\ これは本問のような座標変換に限らず,\ 一般的にいえる話である. \\ パターン認識がなければ,\ この隠れた条件を見落としてしまうのである. \\ 結局,\ この変換で,\ 左図の領域内の点から右図の領域内の点に移ることがわかる.  これは,\ 図形的には,\ $y=x^2\ を\ (a,\ b)$平行移動したことを意味する. \\  実は,\ \textbf{\textcolor{blue}{平行・対称・回転移動なども座標変換の1つ}}なのである. \\  こう考えると,\ \textbf{\textcolor{purple}{座標平面上のあらゆる変換や移動を統一的に理解できる.}} \\  そして,\ \textbf{\textcolor{red}{「逆に解いて元の条件に代入」という求め方も全く同じ}}なのである. \\  $x方向に+a平行移動の際,\ xにx-aを代入するのも当然だと思える?$