検索用コード
瞬殺型でない絶対値付き方程式・不等式を解くには,\ 主要な3つの過程を経る必要がある. \\\\
\textbf{\textcolor{blue}{[方程式]}} \\[.5zh] $[1]$\ \ \textbf{\textcolor{cyan}{場合分け}}をして,\ \textbf{\textcolor{red}{絶対値をはずす.}
$[2]$\ \ 各場合ごとに方程式を解き,\ \textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{\underline{得られた解が場合分けの条件を満たすかを確認する.}}} \\[.5zh] $[3]$\ \ \textbf{\textcolor{red}{場合分けの条件を満たす解をまとめて}},\ 最終的な解とする. \\\\
\textbf{\textcolor{blue}{[不等式]}} \\[.5zh] $[1]$\ \ \textbf{\textcolor{cyan}{場合分け}}をして,\ \textbf{\textcolor{red}{絶対値をはずす.}} \\[.5zh] $[2]$\ \ 各場合ごとに不等式を解き,\ \textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{\underline{得られた解と場合分けの条件との共通範囲を求める.}}} \\[.5zh] $[3]$\ \ \textbf{\textcolor{red}{各場合の範囲を全て合わせて}},\ 最終的な解とする. \\\\\\
実は,\ (1)~(3)については瞬殺する裏技的解法が存在する.Yが何であっても}}
Y=0のとき,\ \zettaiti X=0よりX=0であり,\ これは\maru1に含まれる. \\[.2zh] Y<0のとき,\ \zettaiti X=YとなるXは存在しない(常に\,\zettaiti X\geqq0だから). \\[.2zh] よって,\ Y\geqq0という条件を加えさえすれば,\ X=\pm\,Yが成立する. \\[1zh] Y>0のとき,\ \zettaiti X<Y\ \Longleftrightarrow\ -\,Y<X<Y\ \ \cdots\cdots\maru2 \\[.2zh] Y=0のとき,\ \zettaiti X<0となるXは存在しない. \\[.2zh] ここで,\ Y=0のとき0<X<0となり\maru2を満たすXがないから,\ \maru2はY=0のときも成り立つ. \\[.2zh] Y<0のとき,\ \zettaiti{X}<YとなるXは存在しない. \\[.2zh] ここで,\ Y<0のときY<-\,Yとなり\maru2を満たすXがないから,\ \maru2はY<0のときも成り立つ. \\[1zh] Y>0のとき,\ \zettaiti X>Y\ \Longleftrightarrow\ X<-\,Y,\ Y<X\ \ \cdots\cdots\maru3 \\[.2zh] Y=0のとき,\ \zettaiti X>0となるXは0以外の全ての実数である. \\[.2zh] ここで,\ \maru3においてY=0とするとX<0,\ 0<Xとなるから,\ \maru3はY=0のときも成り立つ. \\[.2zh] Y<0のとき,\ \zettaiti X>YとなるXは全ての実数である. \\[.2zh] ここで,\ Y<0のときY<-\,Yなので,\ 「X<-\,Y\ \dot{ま}\dot{た}\dot{は}\ Y<X\ \Longleftrightarrow\ 全ての実数」である. \\[.2zh] よって,\ \maru3はY<0のときも成り立つ.
右辺が正の定数ではないので瞬殺型ではない.\ \bm{場合分けして絶対値をはずす}ことになる. \\[.2zh] 絶対値は,\ 中身が0以上ならばそのまま,\ 負ならば-をつけてはずすのであった. \\[.2zh] 方程式の解いた後,\ \bm{場合分けの条件を満たすかの確認を死んでも忘れてはならない.} \\[.2zh] x\geqq1という前提条件の下で\zettaiti{x-1}=x-1とできたのである. \\[.2zh] 正しい解は,\ 当然その前提条件x\geqq1を満たしていなければならない. \\[.2zh] x<1のときも同様である. \\[.2zh] x\geqq1とx<1の場合に一旦分けて考えて得られた解をまとめて最終的な答えとする. \\[.2zh] 別解は裏技的解法によるものである.
全ての実数は,\ -\bunsuu52\ 以上か-\bunsuu52\ より小さいかどちらか一方である. \\[.6zh] よって,\ 場合分けは\ x\geqq-\bunsuu52\ \bm{\dot{ま}\dot{た}\dot{は}}\ x<-\bunsuu52\ を意味している. \\[.6zh] そして,\ 前提条件\ x\geqq-\bunsuu52\ の下で\ x<-\bunsuu23\ が求まる.\ つまり,\ x\geqq-\bunsuu52\ \bm{\dot{か}\dot{つ}}\ x<-\bunsuu23\ である. \\[.6zh] ゆえに,\ \bm{共通範囲を求める}ことになる.\ 方程式と混同し,\ 満たすか否かを考える人が多いので注意. \\[.2zh] もう一方の場合も同様にして,\ x<-\bunsuu52\ かつ\ x>-\,8\ である. \\[.6zh] 以上をまとめて考えると,\ 最終的な解は以下のようになる. \\[.8zh] 「または」は\bm{「少なくとも一方を満たす」}を意味する. \\[.2zh] よって,\ \textbf{(\hspace{.15em}i\hspace{.15em})の範囲と(ii)の範囲を合わせた範囲}が最終的な答えである
場合分けして考える場合は(2)と何も変わらない. \\[.2zh] 裏技的解法を用いる場合は,\ X<-\,Y\ \bm{\dot{ま}\dot{た}\dot{は}}\ Y<X\ である(「かつ」ではない)ことに注意する. \\[.2zh] よって,\ x\leqq-\bunsuu12\ とx\leqq2の共通範囲x\leqq-\bunsuu12\ を答えてはならない. \\[.6zh] x\leqq-\bunsuu12\ とx\leqq2を合わせた範囲x\leqq2が答えとなる.
絶対値が2つ以上ある場合,\ 普通に中身が0以上か負かで場合分けしようとすると面倒になる. \\[.2zh] \bm{(絶対値の中身)=0となる点で数直線を分割する}のが簡潔である. \\[.2zh] 本問の場合はx=1,\ 4で分割することになる.\ つまり,\ x<1,\ 1\leqq x\leqq4,\ 4<x\ と場合分けできる. \\[.2zh] 後は,\ 各場合ごとに\bm{具体的な数値で中身が正か負かを考えて絶対値をはずす}とよい. \\[.2zh] 例えば,\ x<1の場合はx=0として考えてよい. \\[.2zh] x=0のときx-1<0,\ x-4<0であるから,\ \zettaiti{x-1}=-\,(x-1),\ \zettaiti{x-4}=-\,(x-4)とできる. \\[.2zh] 同様に,\ 1\leqq x\leqq4の場合はx=2として考えてよい. \\[.2zh] なお,\ 境目のx=1,\ 4は絶対値の中身が0になるので正負が判断できない. \\[.2zh] x=2のときx-1>0,\ x-4<0であるから,\ \zettaiti{x-1}=x-1,\ \zettaiti{x-4}=-\,(x-4)とできる. \\[.2zh] 方程式の解が場合分けの条件を満たすかを忘れずに確認し,\ 満たすものを最終的な答えとする.