確率変数 試行の結果によって値が定まる変数.
{確率分布 確率変数Xのとりうる値$x_k$と,\ $x_k$となる確率$p_k$の対応関係. {確率の総和は1}\,]$ 期待値(平均) $E(X)=x_1p_1+x_2p_2+･･････+x_np_n=Σ{k=1}{n}x_kp_k$
$E(X)=m$とするとき,\ $X-m$をXの平均からの偏差という. 分散 $V(X)=E((X-m)^2)=Σ{k=1}{n}(x_k-m)^2p_k$ 偏差の2乗の期待値\,]$
$V(X)}=(x_1-m)^2p_1+(x_2-m)^2p_2+･･････+(x_n-m)^2p_n$
$V(X)}=E(X^2)-\{E(X)\}^2{(X^2\,の期待値)-(Xの期待値)^2\,]$
標準偏差 $σ(X)=√{V(X)$ 分散
期待値(平均),\ 分散のE,\ m,\ V}は,\ E}xpectation(期待値),\ m}ean(平均),\ V}ariance(分散)}の頭文字.
また,\ standard deviation(標準偏差)の頭文字s}に対応するギリシャ文字が\,σ\,である.
期待値(平均)は数 A:確率で学習済み,\ 分散が偏差の2乗平均なのは数 I:データの分析と同様.
分散が平均値まわりの散らばりを意味する}ことも同じである.
分散は偏差の2乗の期待値だが,\ 別公式およびその導出も重要である.\ Σを用いると簡潔に示せる. \\
Σ{}{}に慣れていない人のため,\ Xのとりうる値が3個の場合の例も示す. \\[-1.5zh]
白玉2個,\ 赤球3個が入った袋から同時に2個の玉を取り出す.\ 取り出された白玉の個
数をXとするとき,\ 確率変数Xの期待値$E(X)$,\ 分散$V(X)$,\ 標準偏差$σ(X)$を求めよ.
Xの値が0をとる確率をP(X=0),\ Xが1以上2以下の値をとる確率はP(1≦ X≦2)と表す.
分散は,\ 偏差X-mが整数のときΣ{k=1}{n}(x_k-m)^2p_k,\ 整数でないときE(X^2)-\{E(X)\}^2\,が早い.
n≧2$とする.\ 袋の中に2個の赤玉と$n-2$個の白玉が入っており,\ 元に戻さずに1個
ずつ取り出していく.\ \ 2個目の赤玉がX回目に取り出されるとき,\ Xの期待値$E(X)$
と分散$V(X)$を求めよ(数B：数列). \\
いわゆるくじ引きの確率であり,\ 確率カテゴリで詳しく解説したので,\ ここでは簡潔な解説に留める.
くじ引きの確率の求め方は複数あるが,\ ○と×の並びに対応させる方法の汎用性が高い}のであった.
n回のうち2回赤玉を取り出すことは,\ \underbrace{□□□･･･□□□}_{nヶ所}\ から○が入る2ヶ所を選ぶことに等しい. [-1zh]
このうちk回目に2個目の赤玉を取り出すのは,\ \underbrace{□□･･･□□}_{○1個}\underbrace{○}_{k回目}××･･･××\ となる場合である. [-1zh]
これは,\ k-1ヶ所から○が入る1ヶ所を選ぶことに等しいから,\ C{k-1}{1}\,通りある.
なお,\ C{k-1}{1}\,はk≧2のときに定義されるから,\ k=1の場合を分けている.
p_k\,さえ求まればE(X)とV(X)は単なるΣ計算であり,\ Σ公式適用後因数分解する方向で整理する.
Σ{k=1}{n}k=12n(n+1) \ \ Σ{k=1}{n}k^2=16n(n+1)(2n+1) \ \ Σ{k=1}{n}k^3=12n(n+1)^2=14n^2(n+1)^2
自然数nの式で答えるとき,\ 簡単な値を代入してみることが一定の検算効果をもつ.
n=2のときX=2となる確率が1であるから,\ 期待値は2,\ 分散は0となるはずである.
実際,\ E(X)=23(2+1)=2,\ V(X)=1}{18}(2+1)(2-2)=0となる.
