ある工場で作られた100万個の製品の強度を知りたいとしよう.
このとき,\ 100万個の製品すべての破壊実験を行うわけにはいかない.
そこで,\ 一部(例えば100個)の破壊実験を行い,\ その製品の強度を推測することを目指す.
一部から全体を推測することこそが「確率分布と統計的な推測」分野の最終目標}である.
しばらくの間,\ 後に一部から全体を推測するための最終準備を行う.
紛らわしい用語が多いので,\ 具体的な問題で十分に確認・理解してほしい.
全数調査と標本調査
全数調査 対象全体をもれなく}調べる.
標本調査 対象全体から一部を抜き出して}調べる.
母集団と標本
標本調査で,\ 調査の対象全体}を母集団,\ 母集団から抜き出された要素の全体}を標本という.
母集団,\ 標本に含まれる要素の個数}をそれぞれ母集団の大きさ,\ 標本の大きさという.
標本を抜き出すこと}を抽出という.
標本調査では,\ 確率的な偏りがないように抽出}しなければならない.
そのためには,\ 乱数表やコンピュータで生成した乱数を利用する.
このような抽出法を無作為抽出といい,\ 無作為抽出で抽出された標本を無作為標本という.
復元抽出 一度抽出したものを元に戻してから}次のものを抽出する方法
非復元抽出 一度抽出したものは元に戻さずに}続けて抽出する方法
母集団から抽出された大きさ$n}$の標本の各回の要素を\.{順}\.{に}$X_1,\ X_2,\ ･･･,\ X_n}$で表す.}
ここで,\ $X_1,\ X_2,\ ･･･,\ X_n}$は確率変数}(試行の結果で値が定まる変数)である.
復元抽出の場合,\ $X_1,\ X_2,\ ･･･,\ X_n}$は独立である.\ 非復元抽出の場合,\ 独立ではない.
ただし,\ 母集団が十分大きいとき,\ 非復元抽出でも独立とみなせることが知られている.
母集団分布
母集団における変量の相対度数分布}を母集団分布という.
母集団の平均値,\ 分散,\ 標準偏差}をそれぞれ母平均,\ 母分散,\ 母標準偏差という.
これらは,\ 大きさ1の標本の確率変数$X_1}$の確率分布,\ 期待値,\ 分散,\ 標準偏差と一致する. 10,\ 20,\ 30の数字が書かれた玉がそれぞれ1,\ 2,\ 3個ずつある.\ これを母集団とするとき,
母集団分布を示し,\ 母平均$m$,\ 母標準偏差σを求めよ.\\
母集団から1個の玉を無作為抽出するとき,\
玉に書かれた数字$X_1$の確率分布,\ つまり母集団分布は \\[-3zh] 母集団分布,\ 母平均,\ 母標準偏差は,\ 大きさ1の標本の確率分布,\ 期待値,\ 標準偏差と一致するから,
1個の玉を無作為抽出するときの玉の数字X_1\,の確率分布,\ 期待値E(X_1),\ 標準偏差\,σ(X_1)を求めた.
右表(母集団の相対度数分布)は,\ X_1\,の確率分布と一致する.
また,\ 母平均mを右の度数分布を元に求めると以下となる.
m=10･1+20･2+30･3}{6}=70}{3}
このmとE(X_1)が一致することを数式的に確認してほしい.
同様に,\ 2乗平均\,10^2･1+20^2･2+30^2･3}{6}=600もE({X_1}^2)と一致.
それゆえ,\ 母標準偏差\,σ\,とX_1\,の標準偏差も一致する.
本問はどちらでも求まるが,\ 今後は解答の考え方が重要になる.
