y=f(x)}$を${x軸方向にp,\ y軸方向にq}$平行移動した関数${y=g(x)}$を求めよう. グラフを含めた座標平面上の全ての図形は,\ 数学的には条件を満たす点の集合である. よって,\ グラフの移動の本質は点の移動である. そして,\ どのような条件を満たすべきかを求めれば,\ それが求める関数である.} 平行移動により,\ $y=f(x)$上の点$(x,\ y)$は点$(x+p,\ y+q)$に移る. 当然,\ 点$(x+p,\ y+q)$は求める関数$y=g(x)$上にあるはずである. よって,\ $y=g(x)$に点$(x+p,\ y+q)$を代入して成り立たなければならない. しかし,\ この条件を立式しようにも,\ そもそも$y=g(x)$は求める関数であり,\ 不明である. 式がわかっているのは元の関数$y=f(x)$だけである.\ そこで,\ 逆に考えることになる. {${y=g(x)}$上の点${(x,\ y)}$を逆に平行移動した点${(x-p,\ y-q)}$が${y=f(x)}$上に存在する.} よって,\ $y=f(x)$に点$(x-p,\ y-q)$を代入して成り立たなければならない. つまり,\ ${y-q=f(x-p)\ $が成立する. これが$y=g(x)$が満たすべき条件であり,\ それゆえ$y=g(x)$の式に他ならない. 結局,\ $y=f(x)$を$x軸方向にp,\ y軸方向にq$平行移動するには,\ より,\ $y=f(x-p)+q$である. この式を見て,\ 「何故$p$は引くのに$q$は足すのか」という疑問をもつ人がいる. しかし,\ 原理から理解しておけば,\ そのような疑問は生じないだろう. $放物線\ y=2x²-x+3\ をx軸方向に1,\ y軸方向に-2$平行移動した放物線の 方程式を求めよ. $x軸方向に2,\ y軸方向に-3$平行移動すると放物線$y=3x²-5x+1$に移るよう な放物線の方程式を求めよ. $放物線\ y=-x²+4x-1\ は,\ 放物線\ y=-x²-2x+5$をどのように平行移動 $求める放物線の方程式は の頂点の座標は xをx-1,\ yをy-(-2),\ つまりy+2に置換すればよいだけである.\ 括弧を付け忘れない. 2次関数に限っては,\ {頂点を求め,\ それを平行移動する別解}も考えられる. しかし,\ 回りくどい上に汎用性がない.\ あらゆる関数に通用する本解のほうが重要である. 最終的な答えは一般形y=2x²-5x+4でも基本形y=2(x-54)²+78\ でもよい. 逆に平行移動すればよい.\ を間違えやすいので注意する. {頂点の移動を考える}方が簡潔である.\ y=-x²+4x-1が移動後であることに注意する. よって,\ (-1,\ 6)をどのように移動させると(2,\ 3)になるかを答えなければならない. 置換する方針は面倒である(別解).\ 文字でおいて平行移動させた後,\ {係数比較}することになる.
