絶対値付き1次関数のグラフ

次の関数のグラフを描け. 絶対値付き1次関数のグラフ}[.2zh] 絶対値は,\ {中身が0以上ならばそのまま,\ 負ならば-をつけてはずす}のであった. 2x-4<0,\ つまりx<2のとき-をつけて,\ 2x-40,\ つまりx2のときそのままはずす. x<2ではy=-2x+4のグラフ,\ x2ではy=2x-4のグラフを図示することになる. 一般に2点で1本の直線が定まるから,\ 1本の直線を描くときにとるべき点は2点だけである. 普通,\ x軸,\ y軸との交点をとる.\ 範囲外の部分も点線で図示しておくとわかりやすい. 複数の絶対値がある場合,\ それぞれが0以上か負かで場合分けするのは大変である. {絶対値の中身が0になるところで数直線を分割して考える}のが効果的であった. 本問では,\ x+1=0,\ x-2=0となるx=-1,\ 2が場合分けの境目である. 後は{具体的に数値を代入することによって正負を調べて絶対値をはずす.} x<-1のとき,\ 例えばx=-2とするとx+1<0,\ x-2<0である. よってこのとき,\ x+1}=-(x+1),\ x-2}=-(x-2)\ である.\ 他の場合も同様である. とは異なり,\ 軸との交点よりもグラフが折れる点を優先してとる必要がある. }]$ さて,\ 以上が一般的な解法だが,\ 特にはかなり図示に時間がかかるのではないだろうか. 多くの場合,\ グラフの図示は結果の図だけが問われ,\ 途中過程は問われない. つまり,\ {素}{早}{く}図示できなければ実戦では戦えない. 以下では,\ 素早く図示するためのテクニックを紹介しよう. まず,\ のように{全}{体}{に}絶対値がついた関数(${y=f(x)$型)のグラフは瞬殺できる. $f(x)$に絶対値をつけることは,\ $f(x)$の負の部分が正になることを意味する. これは,\ 図形的には${x}$軸より下の部分を上側に折り返すことに対応する. は全体に絶対値がついているわけではないので,\ 折り返す方法は使えない. 次の2点に着目することで素早く図示できる. 1つ目は,\ $x$の1次式なので図形的には必ず直線になることである. 2つ目は,\ 絶対値の中身が0になるところで折れることである. よって,\ 折れる点およびその右側と左側に任意に1点ずつとって結ぶことで図示できる. 本問では,\ 折れる点$x=-1,\ 2$のときと,\ 適当に$x=-2とx=3$のときの点をとればよい. ちなみに,\ 最大・最小も図示さえできればすぐにわかる.\ $x=2のとき最小値3$である. 場合分けして図示するのは非常に面倒である. 対称移動と平行移動を繰り返すことで素早く図示できる. まず,\ y=xのx軸より下の部分を上側に折り返すと\ y= x\ となる. 次に,\ y方向に-1平行移動すると\ y= x-1\ となる. これのx軸より下の部分を上側に折り返すと\ y= x-1}\ となる. さらに,\ y方向に-2平行移動すると\ y= x-1}-2\ となる. これのx軸より下の部分を上側に折り返すと\ y= x-1}-2}\ となる.
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