関数の定義と値、定義域・値域と最大・最小

x}$の値を定めると${y}$の値がただ1つ}定まるとき,\ ${yはxの関数である$という. 関数を意味するfunctionのfを用いて,\ ${y=f(x)$と表すことが多い. 関数$y=f(x)$において,\ ${x=a}$のときの${y}$の値を${f(a)$と表す. 座標平面{平面を直交する数直線で4つの象限に分けたもの.\ 原点Oはoriginに由来する. 右上から反時計回りに第1象限,\ 第2象限,\ 第3象限,\ 第4象限という. なお,\ \座標軸上はどの象限でもない. 第1象限}第2象限}{第3象限}第4象限} \end{pszahyou 定義域  関数$y=f(x)$において,\ 変数${x}$がとりうる値の範囲. 値域   $x$が定義域内の全ての値をとるとき,\ ${f(x)}$がとりうる値の範囲. $[l} y=x²\ は,\ xの値を定めるとyの値がただ1つ}定まるから関数である(正確には一価関数という). y²=x\ は,\ 例えばx=1のときy=1となってyの値がただ1つに定まらないから関数ではない. これも広い意味では関数であるが(多価関数という),\ 単に関数といえば一価関数のことを指す. 定義域(xのとりうる値の範囲)は,\ y=f(x)\ (a x b)\ のように表す. 定義域が明示されていない場合,\ {f(x)が意味をもつ全ての範囲が定義域}となる. 例えば,\ y=1x\ の定義域は{x0}\ (0以外の全ての実数),y= x\ の定義域は{x0}である. 要はxに代入するだけである.\ 代入するときは括弧を付け忘れないこと.\ その後,\ 展開して整理する. f(x)=2x²-4x-3より,\ f(f(x))=f(2x²-4x-3)\ である. f(2x²-4x-3)は,\ f(x)のxに2x²-4x-3を代入したものである. このように,\ f(x)のxにxの式を代入してできた関数を{合成関数}という. 合成関数の詳細は数III}の学習内容だが,\ 実質的には数I}でも普通に登場する. 次の関数の値域を求めよ.\ また,\ 最大値・最小値があれば求めよ. とにかく,\ {定義域の両端が値域の両端になるとは限らない}ことに注意する. 単純に定義域の両端を代入するのではなく,\ {グラフの形をイメージ}した上で解答する. また,\ 等号を含むか否かにも注意が必要である. y=-2x+3は減少関数なので,\ 定義域の左端x=-1でyが最大の5をとる. -1 x<2にそのまま対応させて5 y<-1と答えないように注意する. また,\ x=2は定義域に含まれないから,\ 最小値は存在しない. 1.9,\ 1.99,\ 1.999,のようにxは2に限りなく近づけるが,\ x=2になることはできない. このときyは-0.9,\ -0.99,のように限りなく小さくはなるが,\ y=-1にはなれない. よって,\ 「最小値なし」となるのである. グラフの形を考慮すると最小は0である. -2 x1だからといって,\ 4 y1や1 y4としないように注意する. 反比例のグラフであり,\ これも減少関数である.
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