独立2変数2次式の最大・最小

x+y=3$のような条件がある場合,\ 2変数$x$と$y$の関係を互いに従属であるという. つまり,\ 2変数$x$と$y$は,\ 無関係に値をとることができない. 仮に$x=2$とすると,\ 自動的に$y=1$が確定してしまう. 一方,\ 2変数${x}$と${y}$が無関係に値をとることができる場合,\ 互いに独立であるという. 2変数が互いに独立ならば,\ それぞれの文字についての大小を別々に考えれば済む.}2変数x,\ yは独立なので,\ xを含む部分x²+2xとyを含む部分y²-4yを別々に扱う. すなわち,\ {(全体の最小)=(xの部分の最小)+(yの部分の最小)}と考えればよいわけである. これはxとyが互いに無関係だからこそ成り立つことに注意してほしい. 互いに干渉しあう場合,\ 一方を最小にすると他方が最小にならないということが起こりうる. よって,\ {xとyが従属なのか独立なのかで解法が大きく異なる.} 本問ではxとyは独立でかつ2次式なので,\ それぞれを平方完成すればよい. x+1=0のとき(x+1)²が最小値0,\ y-2=0のとき(y-2)²が最小値0をとるとわかる. 結局,\ {x+1=0かつy-2=0}のとき,\ 全体が最小値0+0-4をとるとわかる. にxとyの不等式の条件が加わった問題だが,\ xとyは互いに無関係に範囲内を動ける. よって,\ 2変数xとyが独立であることに変わりはない. ゆえに,\ (x+1)²と(y-2)²の最大・最小を別々に考えればよい. 仮に1 x+y3のような条件だったならば,\ xとyが互いに無関係ではないので従属になる. この場合は全く異なる解法が必要になる(数I-.2em}I}で学習). (x+1)²と(y-2)²の最大最小(取りうる値の範囲)は,\ 問題で与えられた不等式を元にして考える. x+1=4\ (x=3)のとき(x+1)²の最大値16,\ x+1=2\ (x=1)のとき(x+1)²の最小値4 y-2=-3\ (y=-1)のとき(y-2)²の最大値9,\ y-2=0\ (y=2)のとき(y-2)²の最小値0 -3 y-22だからといって,\ 9(y-2)²4とはならないことには要注意である. Y=X²\ (-3 X2)の値域は,\ グラフを考慮すると0 Y9である. 結局,\ 最大値16+9-4=21,\ 最小値4+0-4=0\ となる. 特に条件はないので2変数xとyは独立なのだが,\ xyの項はxとyの両方に影響される. よって,\ 部分ごとに最大・最小を考えるということができない. この場合,\ {xまたはyの1文字の式と見て平方完成}する. 本問は,\ 係数が1であるxで整理して平方完成するのが簡単である. xの式とみたときの最小は,\ x=-y-2のとき,\ y²-6y-3となる. さらに,\ y²-6y-3をyについて平方完成すると,\ 全体が{A²+B²+C}という形になる. 2乗が負になることはないから,\ A²=B²=0,\ つまり{A=B=0となるときが最小}である. 元はといえば,\ このことを利用するために二段階で平方完成したわけである. 実は,\ 当カテゴリで同種の問題をすでに扱っている.\ 「2次関数の最小値の最大値」の項目である. そこでは最小値の最大値を求めたが,\ 最小値の最小値を求めたのが本問である. 最小値の最小値を求めることは,\ 2変数関数の最小値を求めることなのである. このように,\ 他の文字を定数扱いして1変数ずつ順に最大最小を考える方法を{1文字固定法}という. また,\ xで予選した後にyで決勝したとみなせることから,\ {予選決勝法}とも呼ばれる.
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