ガウス記号とグラフ (y=[x]など)

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x$を超えない最大の整数を$[x]$と表す.\ $-3 x3$のとき,\ 次のグラフを描け. ガウス記号とグラフ 実数$x$に対し,\ ${x}$を超えない最大の整数(${x}$以下の最大の整数)を${[x]$と表す. このときの記号$[ ]$をガウス記号という. ll} $3.14}=3$ & (3.14以下の最大の整数) $23}=0$ & $(23=0.66\ 以下の最大の整数)$ $5}=5$ & (5以下の最大の整数) $-2.7}=-3}$ & ($-2.7$以下の最大の整数.\ $-3<-2.7<-2$なので$-2$ではない!}) ガウス記号の定義を元にを考える.\ とにかく, まずガウス記号をはずす必要がある. 試しに$x=0$から考え,\ 徐々に$x$の値を大きくしていく.\ 最初$x=0のとき,\ [x]=0$である. この後$x=0.1,\ 0.2,のときはもちろん,\ x=0.999\ となってもまだ\ [x]=0$である. $x=1になった瞬間,\ [x]=1$となる.\ 次に$[x]$の値が変わるのは$x=2$になった瞬間である. 結局,\ ガウス記号の中身が整数になる瞬間に値が変わるので,\ そこが場合分けの境目となる. $-3 x3$のときは以下のように場合分けできる.\ 等号の有無に注意すること. 以上を踏まえると,\ ガウス記号の一般的なはずし方が次のように表現できる. ガウス記号のグラフは,\ 場合分けさえ正しくできれば,\ 後はその結果を忠実に図示するだけである. 必ず,\ {含む端点は黒丸,\ 含まない端点は白丸}とする. ただ,\ 場合分けする方法は確実ではあるが,\ かなり面倒である. グラフの図示は途中過程は問われないことが多いので,\ いかに素早く図示するかが重要である. 素早い図示のポイントは問題ごとにあるが,\ その前に全問題に共通するポイントを示す. ガウス記号の中身が整数になるところが場合分けの境目であり,\ この瞬間に値が変わるのであった. つまり,\ {ガウス記号の中身が整数になるx座標でグラフが途切れ,\ y座標が一気に変化する.} よって,\ {グラフの含む端点と含まない端点は,\ ガウス記号の中身が整数になるx座標上に存在する.} さらに,\ [x]において中身xがちょうど整数になるとき,\ [x]=x\ が成立する. よって,\ {元の関数においてガウス記号を無視した関数上に含む端点が存在する}といえる. y=[x]で,\ {中身xが整数,\ かつ,\ ガウス記号を無視したy=x上に含む端点が存在する.} よって,\ y=xを破線で図示し,\ (-3,\ -3),\ (-2,\ -2),\ ,\ (2,\ 2),\ (3,\ 3)に黒丸をうつ. さらに,\ y=[x]ということは,\ y=(整数)\ ということである. よって,\ y=[x]は{常にx軸に平行な直線のグラフ(一定値をとるグラフ)}となるはずである. 後は,\ 0.5}=0や1.5}=1などの途中の点も考えると,\ 階段状のグラフになるとわかる. y=-x上かつガウス記号の中身-xが整数,\ つまりxが整数になるところが含む端点である. y=(整数)よりx軸に平行になること,\ x=0.5のとき & -0.5}=-1 x=1.5のとき & -1.5}=-2 なども考えて描く. ₀ 後に,\ {式のxを-xで置き換えると,\ 図形的にはy軸対称移動になる}ことを学ぶ. よって,\ をy軸対称移動したものとして図示することもできる. 仮に一般的なはずし方に従って場合分けして図示するならば,\ 延々と次の作業を行う羽目になる. -3-x<-2,\ つまり3 x>2のとき -x}=-3 y=2x上かつガウス記号の中身2xが整数になるところが含む端点である. つまり,\ x=-32,\ -1,\ -12,\ 0,\ 12,\ 1,\ 32\ のときである. y=(整数)よりx軸に平行になること,\ x=14\ のとき\ 12}=0\ などを考えて図示する. 後に,\ {式のxを2xで置き換えると,\ 図形的にはx方向に12倍になる}ことを学ぶ. よって,\ のグラフを縦はそのままで横を12倍したものとして図示することもできる. 場合分けするならば,\ まずガウス記号の中身2xの範囲の確認が必要になる. -32 x32\ のとき,\ -32×3\ である. -32x<-2,\ つまり-32 x<-1\ のとき 2x}=-3 y=x-x,\ つまりy=0上かつガウス記号の中身xが整数になるところが含む端点である. y=x-(整数)より,\ 常に傾きが1の直線である. さらに,\ x=0.5のときy=0.5-0.5}=0.5-0=0.5なども考えて描く. x-[x]は(元の数)-(整数部分)なので,\ これは{小数部分}を表す. 小数部分をイメージできれば,\ のこぎり型のグラフになることが直感的に理解できる. y=x²上かつガウス記号の中身xが整数になるところが含む端点である. y=x(整数)より,\ 常に{原点を通る直線}になる. また,\ x=0.5のとき & y=0.50.5}=0.50=0 x=1.5のとき & y=1.51.5}=1.51=1.5 なども考えて図示する. y=x²上かつガウス記号の中身x²が整数になるところが含む端点である. つまり,\ x²=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4より,\ x=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 2\ のときである. また,\ y=(整数)より,\ x軸に平行なグラフになる. さらに,\ 21.4 31.7 -1zw}より,\ x=-1.5のとき & y=(-1.5)²}=2.25}=2 x=-1.2のとき & y=(-1.2)²}=1.44}=1 x=-0.5のとき & y=(-0.5)²}=0.25}=0 x=0.5のとき & y=0.5²}=0.25}=0 x=1.2のとき & y=1.2²}=1.44}=1 x=1.5のとき & y=1.5²}=2.25}=2 なども考えて描く. ₀ 後に,\ 式のxを-xに変えても変化しなければ,\ y軸対称のグラフになることを学ぶ. y=x²}においてxを-xにしても,\ 結局y=(-x)²}=x²}\ となるからy軸対称である. この認識があれば,\ x0の部分のみ考えれば済む.
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