b-a\ や\ f(b)-f(a)\ を含む不等式の証明は,\ 平均値の定理の利用を考えてみる.$ 平均値の定理を元に不等式を作成することによって,\ 不等式を証明できるのである. 平均値の定理 $l} 関数f(x)がa x bで連続,\ a0\ より {0<sin b-sin a<b-a}$} $[l} f(x)を設定すると後はと同じである. ただし,\ a<c<b\ からcos cを作り出すときは注意を要する. {y=cos x\ は\ 0cos c>0\ を取り出してくることになる. }]$ $f(x)=log x}\ とすると,\ f(x)はx>0で連続で微分可能な関数である. f'(x)=1x$ 平均値の定理より ${log b-log a}{b-a}=1c}(a<c<b})\ を満たす実数cが存在する.$ $a<c<b\ より 1b<1c1a}(∵\ 1x\ はx>0で単調減少)$ $よって 1b<{log b-log a}{b-a}<1a $ $ 各辺にab<0)\ を掛けると {a<{ab}{b-a}log ba<b}$} $[l} {log ba=log b-log a}\ と考えると,\ 平均値の定理の利用がみえてくる. に注意して不等式を導く. 最後,\ 問題の不等式と見比べると,\ 各辺にabを掛ければよいことがわかる. において\ a=x,\ b=x+1\ とすると,\ {1}{x+1}<log(1+1x)<1/x\ と変形できる. ∵log(x+1)-log x=log{x+1}{x}=log(1+1x) 平均値の定理を背景とするこの不等式のように,\ よく見かける不等式には何らかの背景がある. このような不等式の証明問題を見て,\ f(x)=1x-log(1+1/x)>0\ を示すだけでは力がつかない. 試験ではゴリ押しも重要だが,\ 日頃は{不等式の意味を探る}ことを心掛けて学習しておきたい. 平均値の定理の利用に関しても,ただ証明問題を解くだけでは未知の不等式に対応できない. {f(x)やa,\ bを自由に設定して様々な不等式を自分で導く経験を積んでおく}ことが重要である. f(x)=log(log x)}\ とすると,\ f(x)はx>0で連続で微分可能な関数である.$ $f'(x)={(log x)’}{log x}={1}{xlog x}$ 平均値の定理より ${log(log q)-log(log p)}{q-p}={1}{clog c(p<c<q})\ を満たす実数cが存在する. $よって {log(log q)-log(log p)}{q-p}<1e$ $ {log(log q)-log(log p)<{q-p}{e$} clog p<clog c<clog q 最終的な不等式を考慮すると,\ このうち必要なのは\ clog e<clog c,\ つまり\ c<clog c\ である. さらに,\ {もう1度e p<c<q\ を考慮}すると,\ e<c<clog c\ より,\ e<clog c\ が得られる.
