検索用コード
極値をもつ・もたない条件において最も注意すべきが次である. \\[.5zh]  $「\,\bm{\textcolor{cyan}{f(x)がx=aで極値をとる\ \Longrightarrow\ f'(a)=0}}\,」は成立するが,\ \bm{\textcolor{red}{逆は成り立たない}}.$ \\[.5zh]  左下の増減表のように,\ $f'(a)=0でも前後のf'(x)の符号が同じならば極値をもたない  $x=a$で極値をもつ条件は,\ $\bm{\textcolor{red}{f'(x)の符号がx=aの前後で変化する}}$ことなのである. \\\\\\\\ f(x)=\bunsuu{x+a}{x^2-1}\ が極大値と極小値をもつような実数aの値の範囲を求めよ.$ \\  $極大値と極小値をもつ条件は,\ \textcolor{red}{-\,x^2-2ax-1=0\ が2個の実数解をもつ}ことである.$ \\[.5zh]  判別式を$D$とすると x^2-1\neqq0より,\ f(x)の定義域はx\pm\,1である. \\[.2zh] このとき,\ f'(x)の分母(x^2-1)^2>0より,\ \bm{f'(x)の符号は分子\,-\,x^2-2ax-1\ だけで決まる.} \\[1zh] さて,\ 極大値をもつには\bm{f'(x)の符号が正から負に変化}する必要がある. \\[.2zh] また,\ 極小値をもつには\bm{f'(x)の符号が負から正に変化}する必要がある. \\[.2zh] このf'(x)の符号変化を数式でとらえようとするのは無理がある.\ グラフで図形的に考えるとよい. \\[.2zh] f'(x)の符号が変化することは,\ 図形的には\bm{y=f'(x)のグラフがx軸と交わる}ことを意味する. \\[.2zh] ここで,\ 「交わる」は「接する」を含まない.\ 接するときは符号が変化しない. \\[.2zh] f'(x)そのもののグラフを考える必要はなく,\ \bm{符号に影響する部分を取り出して考える}. \\[1zh] 本問では,\ 符号に影響する部分が2次関数であるからさらに容易である. \\[.2zh] つまり,\ 極大値と極小値をもつには,\ \bm{y=f'(x)がx軸と2個の交点をもつ}必要がある. \\[.2zh] この条件は,\ \bm{f'(x)=0における判別式D>0}で済む. \\[1zh] 本来,\ 2個の交点をもつだけでは極大か極小かまではわからず,\ その符号変化も調べる必要がある. \\[.2zh] しかし,\ 2次関数がx軸と交わるとき,\ \bm{必ず一方の交点で正から負,\ 他方で負から正に変化}する. \\[.2zh] 例えば,\ 下図の場合であれば,\ x=\alpha\ で負から正に変化,\ x=\beta\ で正から負に変化している. \\[.2zh] これは,\ x=\alpha\ でf(x)が極小,\ x=\beta\ でf(x)が極大をとることを意味している. \\ 結局,\ \bm{D>0だけで極大値と極小値をもつという条件を自動的に満たす}わけである. \\[.2zh] また,\ 分子のみを考えたことで,\ 2次関数に帰着して簡潔な解答になったことに留意しておこう. \\[1zh] さて,\ 当然ながら常に2次関数に帰着するわけではない. \\[.2zh] 別解のより一般的な解法も習得してほしい. 両辺をxで割るときにx=0の可能性を考慮する必要がある. \\[.2zh] また,\ 微分しやすくするため,\ 分子の次数を下げておく. \\[.2zh] (分子の次数)\geqq(分母の次数)\ である分数関数は,\ 分子の次数を下げるのが鉄則である. \\[1zh] 次の同値変形により,\ 結局\bm{定数分離型の実数解の個数問題に帰着}する. \\[.2zh] y=-\,x^2-2ax-1\ がx軸と2点で交わる\ \Longleftrightarrow\ y=-\bunsuu12x-\bunsuu{1}{2x}\ がy=aと2点で交わる \\[.8zh] 本問のように定数が分離できる場合,\ この解法が有効である. \\[.2zh] y=h(x)とy=aが交点をもてば,\ その前後でグラフの上下関係が逆転する. \\[.2zh] これは,\ g(x)の符号が変化することと同値である. \\[.2zh] 例えば,\ 上図では\ x=\alpha\ において,\ -\bunsuu12x-\bunsuu{1}{2x}aに変化している. \\[.8zh] つまり,\ g(x)=-\,x^2-2ax-1<0\ から\ g(x)=-\,x^2-2ax-1>0\ に符号変化したことになる. \\[1zh] h(x)のグラフは,\ 対称性に着目すると記述・思考量が半分で済む. \\[.2zh] また,\ 解の個数問題なので極限も調べなければならない. \hspace{.5zw}$f(x)=\bunsuu1x-e^{-ax}\ (x>0)\ が極値をもつような実数aの値の範囲を求めよ.$ \\[.8zh]   (a=0}\ のとき,\ g'(x)=0より\textcolor{cyan}{g(x)は定数関数}となるから,\ 条件を満たさない.$ \\[1zh]   (ii)\ \ $\textcolor[named]{ForestGreen}{a<0}\ のとき,\ x>0で常にg'(x)<0となるから\textcolor{cyan}{g(x)は単調減少}する.$ \\[.2zh]    \ \ \ \,$このとき,\ \textcolor{cyan}{g(0)=-\,1}より\textcolor{cyan}{常にg(x)<0}となるから,\ 条件を満たさない.$ \\[1zh]    \ \ \ \,$よって,\ 増減表は次のようになり,\ \textcolor{red}{x=\bunsuu2a\ で極大}をとる.$ \\\\   $f(x)$が極値をもつ条件は,\ $\textcolor{red}{y=g(x)がx軸と交わる}ことである.$ \\\\ 分母のx^2\,はf'(x)の符号に影響しない.\ 分子だけを取り出して考える. \\[.2zh] f(x)が極値をもつ条件は,\ f'(x)つまりg(x)が符号変化することである. \\[.2zh] 図形的には,\ \bm{y=g(x)がx軸と交わる}ことである. \\[.2zh] 定数aを分離できないので,\ g'(x)を求めてg(x)の増減を考慮し,\ x軸と交わる条件を考える. \\[1zh] x>0,\ e^{-ax}>0\,より,\ \bm{g'(x)の符号はaと2-axに影響される.} \\[.2zh] ここで,\ 2-ax=0よりx=\bunsuu2a\ としたいところだが,\ これはa\neqq0という条件が必要になる. \\[.6zh] そこで,\ 必然的に場合分けして考えることになる. \\[.2zh] a=0のとき,\ g(x)は定数関数(x軸に平行な直線)となり,\ x軸と交わるという条件を満たさない. \\[.2zh] a<0のとき,\ x>0も考慮すると2-ax>0より,\ g'(x)<0となる. \\[.2zh] g(0)=-\,1より,\ x>0でg(x)は-\,1から単調減少するから,\ x軸と交わることはない. \\[.2zh] よって,\ a>0が必要である.\ \dlim{x\to\infty}x^2e^{-x}=0を利用するため,\ ax=tとして極限を求める. \\[.2zh] a>0より,\ x\,→\,\infty\ で\ t\,→\,\infty\ である. \\[1zh] 結局,\ \bm{(極大値)>0であればy=g(x)がx軸と交点をもつ}といえる. \\[.2zh] このとき,\ x軸と2点で交わり,\ それぞれ負から正,\ 正から負に変化する. \\[.2zh] g(x)が負から正に変化するxではf(x)が極小,\ 正から負に変化するxではf(x)が極大をとる. \hspace{.5zw}$f(x)=ax+\cos x+\bunsuu12\sin 2x\ が極値をもたないように,\ 実数aの値の範囲を定めよ.$ \\   $f'(x)=a-\sin x+\cos2x$ \\[1zh]   $f'(x)が極値をもたない条件は,\ \textcolor{red}{f'(x)が符号変化しない}ことである.$ \\[.2zh 図形的には,\ f'(x)がx軸と交点をもたなければよい.\ 接するのはかまわない. \\[.2zh] \bm{定数分離}すると,\ y=aとy=g(x)が交点をもたないことに帰着する. \\[.2zh] さらに,\ この条件は\bm{y=g(x)の最大・最小を求める}ことに帰着する. \\[.2zh] このとき,\ g(x)を微分して増減表を書く必要はない(もちろんそれでも解ける). \\[.2zh] 2倍角の公式を用いた後置換すると,\ 結局\bm{2次関数の最大・最小問題}になるからである. \\[.2zh] 置換するときはその範囲に注意すること.\ \sin xが取りうる値の範囲は当然-\,1\leqq\sin x\leqq1\ である. \\[.2zh] \bm{aが最大値以上か最小値以下ならば,\ 交点をもたない}ことになる. \\[.2zh] \bm{接する場合も交点をもたないから,\ 最大値・最小値のときも含まれる}ことに注意.