検索用コード
y=x^2\,上の2点(a,\ a^2),\ (a+h,\ (a+h)^2)\ における法線をそれぞれl,\ mとし,\ その$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$交点を\mathRM{P}とする.$ \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ $\mathRM{Q}=\dlim{h\to0}\mathRM{P}\,を求めよ.$ \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ $点\mathRM{Q}\,の軌跡をy=f(x)の形で表し,\ その概形を図示せよ.$ \\ 法線の傾きは 普通に2本の法線(接線と直交する直線)とその交点を求め,\ 極限にとばすだけである. \\[.2zh] ただし,\ a=0のときは法線がy=ax+bの形で表せないので場合を分ける. \\[.2zh] 2直線の直交条件は\bm{(2直線の傾きの積)=-\,1}\,である. \\[.2zh] 法線lが求まれば,\ 単純にa\,→\,a+h\,と変えるだけで法線mが得られる. \\[.2zh] \mathRM{P}のy座標を求める必要はなく,\ 先に求めた\mathRM{Q}のx座標を利用して直接\mathRM{Q}のy座標が求まる. \bm{軌跡上の動点(x,\ y)が媒介変数で表されている場合,\ それを消去すると軌跡の方程式が得られる.} \\[.2zh] x=-\,4a^3\ より\ a^3=-\bunsuu{x}{4}   よって,\ a=-\left(\bunsuu x4\right)^{\frac13}\ より y=3\cdot\bunsuu{x^{\frac23}}{\ruizyoukon[3]{16}} \\[.5zh] 問題から\bm{y軸対称性}があることは容易に推測できる. \\[.2zh] y軸対称(偶関数)の条件\bm{f(-\,x)=f(x)}を記述しておけばよい. \\[.2zh] 実際,\ (-\,x)^{\frac23}=\ruizyoukon[3]{(-\,x)^2}=\ruizyoukon[3]{x^2}=x^{\frac23}\ である. \\[.2zh] 明らかに\,\dlim{x\to\infty}x^{\frac23}=\infty\ であることと対称性を考慮して図示する.   \textcolor[named]{ForestGreen}{曲線上のある点において曲線を最も良く近似する直線は,\ その点における接線}である. \\[.2zh]   例えば,\ $y=x^2\,上の点(1,\ 1)における最良近似直線は,\ その点の接線y=2x-1である.$ \\[1zh]   さて,\ 直線(1次式)ではなく\textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{円(2次式)で曲線の曲がり具合まで近似する}}ことを考える. \\[.2zh]   \textbf{\textcolor{red}{曲線上のある点における曲がり具合が,\ どんな円と最も近いかを求める}}わけである. \\[1zh]   まず,\ \textbf{\textcolor{blue}{曲線上の2点A,\ Bにおける法線}}を考える. \\[.2zh]   すると,\ \textcolor[named]{ForestGreen}{交点Pが一意に定まり,\ 同時に交点中心の2点を通る円も一意に定まる}. \\[.2zh]   さらに,\ BをAに限りなく近づけると,\ 交点Pが1点に収束する. \\[.2zh]   \textbf{\textcolor{red}{極限点Qを中心とする円を,\ 曲線上の点Aを最も良く近似する円}}と考えるのである. \\[.2zh]   曲線上の2点を通る直線に対し,\ 2点を限りなく近づけると接線になるのと同様である. \\[.2zh]   最良近似円を\textbf{\textcolor{blue}{曲率円}},\ その中心を\textbf{\textcolor{blue}{曲率中心}},\ 半径を\textbf{\textcolor{blue}{曲率半径}}という. \\[1zh]   例として,\ $y=x^2\,上の点(1,\ 1)における曲率円を求めてみる.$ \\[.2zh]   なお,\ 曲率半径の逆数を\textbf{\textcolor{blue}{曲率}}という. \\[.2zh]   つまり,\ $\bm{\textcolor[named]{ForestGreen}{(曲率半径が小さい)=(曲率が大きい)=(曲がり具合が大きい)}}$である. \\[.2zh]   $y=x^2\,上の点(1,\ 1)における曲率が円\maru1と等しいことがわかったわけである.$ \\\\\\  \textbf{\textcolor{blue}{縮閉線と伸開線}}(おまけ知識) \\[.5zh]   \textbf{\textcolor{magenta}{曲率中心(法線の交点の極限)の軌跡}}を\textbf{\textcolor{blue}{縮閉線}},\ また,\ \textbf{\textcolor{magenta}{元の曲線}}を\textbf{\textcolor{blue}{伸開線}}という. \\[.5zh]   縮閉線は,\ \textbf{\textcolor{red}{すべての法線と接する曲線}}(\textcolor[named]{ForestGreen}{包絡線})ととらえることもできる(下図). \\[.5zh]   さらに別の見方をすることもできる. \\[.2zh]   縮閉線$x\leqq0$に沿って赤糸が巻かれている.\ また,\ $\left(0,\ \bunsuu12\right)$\,から原点に垂れている. \\[.2zh]   \textbf{\textcolor{red}{この糸を伸ばしたままほどいていくとき,\ 元の曲線を描く}}ことになる. \\[.2zh]   これが元の曲線を伸開線と呼ぶ由来である. \\[.2zh]   なお,\ 縮閉線は一意に定まるが,\ 伸開線は糸の長さ次第で無数にある.