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関数方程式とは,\ 文字通り\textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{関数についての方程式(関係式)}}である. \\[.2zh]   次の型が頻出である.\ 結果を覚えておくと問題の見通しが良くなる. \\[.5zh] \textcolor{blue}{f(x+y)=f(x)+f(y)} & → \textcolor{red}{f(x)=ax} \\[.2zh] \textcolor{blue}{f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy}  & → \textcolor{red}{f(x)=x^2+ax} \\[.2zh] \textcolor{blue}{f(xy)=f(x)+f(y)} & → \textcolor{red}{f(x)=a\log x} \\[.2zh] \textcolor{blue}{f(x+y)=f(x)f(y)} & → \textcolor{red}{f(x)=e^{ax}}   関数方程式は,\ \textbf{\textcolor{cyan}{連続や微分可能の条件を付加}}することで,\ 上のように一意に定まる. \\[.2zh]   基本解法はほぼ1パターンであり,\ 次の3段階を踏むのが普通である. \\[.5zh]     [1]\ \ $\bm{\textcolor{red}{変数に具体的な値を代入}}し,\ \bm{\textcolor[named]{ForestGreen}{特殊なxについての値を求める.}}$ \\[.5zh]     [2]\ \ $\bm{\textcolor{red}{導関数の定義}}を用いて\bm{\textcolor[named]{ForestGreen}{f'(x)を求める.}}$ \\[.5zh]     [3]\ \ $\bm{\textcolor{red}{f'(x)を積分}}して\bm{\textcolor[named]{ForestGreen}{f(x)を求める.}}$ \\\\\\\\ \hspace{.5zw}$関数f(x)は,\ すべての実数x,\ yに対して\ f(x+y)=f(x)+f(y)\ を満たす.$ \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ $f(0)を求めよ.$   (2)\ \ $f(-\,x)=-\,f(x)\ であることを示せ.$ \\[.75zh] %\hspace{.5zw} (3)\ \ $f\left(\bunsuu1x\right)=\bunsuu{f(1)}{x}\ (x\neqq0)\ であることを示せ. \hspace{.5zw} (3)\ \ $f(x)がx=0で微分可能ならば,\ すべての実数xに対しても微分可能である$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}   $ことを示せ.$ \\[.75zh] \hspace{.5zw} (4)\ \ $f(x)がx=0で微分可能でf'(0)=a\ (a:定数)であるとき,\ f(x)を求めよ.$ \\  (3)\ \ $f(x)がx=0で微分可能であるとき,\ \textcolor{red}{\dlim{h\to0}\bunsuu{f(0+h)-f(0)}{h}=f'(0)\ が存在する}.$ \\[1.5zh] \centerline{$\therefore \bm{f(x)はすべての実数xで微分可能である.}$} \\\\\\ (1)\ \ \bm{x,\ yに何を代入するとf(0)が求まるか}を考える.\ 単純に両方を0とすればよい. \\[1zh] (2)\ \ \bm{yに何を代入するかと(1)の利用}がポイントである.\ f(-\,x)があるから,\ y=-\,x\ としてみる. \\[.2zh]   なお,\ f(-\,x)=-\,f(x)\ は,\ \bm{f(x)が奇関数}であることを意味している. \\[1zh] (3)\ \ \bm{導関数\,f'(x)=\dlim{h\to0}\bunsuu{f(x+h)-f(x)}{h}\ が存在する(収束する)}ことが微分可能の条件である. \\[.8zh]   まず,\ 前提の「x=0で微分可能」は\bm{f'(0)が存在する}ことを意味する. \\[.2zh]   \bm{微分係数の定義\ \dlim{h\to0}\bunsuu{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)}\ により,\ 解答のように表現できる. \\[.6zh]   後は,\ f'(x)を計算する.\ このとき,\ \bm{f(x+y)=f(x)+f(y)\ を利用する}. \\[.2zh]   本問では,\ \bm{y=h}\ とみなして適用する.\ さらに,\ \bm{\bunsuu{f(h)}{h}\ を微分係数の定義の形とみなす}. \\[.6zh]   慣れるまでは難しいが,\ ここをクリアできるかが関数方程式では重要である. \\[1zh] (4)\ \ f'(x)が求まれば,\ 後はそれを積分してf(x)を求めればよい.\ \bm{初期条件f(0)の考慮}も要する. \hspace{.5zw}$関数f(x)は,\ すべての実数x,\ yに対してf(x+y)=f(x)+f(y)+2xy\ を満たす.$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$f'(0)=a\ (a:定数)\,であるとき,\ f(x)を求めよ.$ \\ 誘導がなくてもx,\ yに具体的な値を代入して様子を探る. \\[.2zh] 問題によっては,\ x=0,\ y=1\ や\ x=-\,1,\ y=1\ を代入する必要があるかもしれない. \\[.2zh] さらに,\ 誘導がなくても\,f'(x)\,を求めてf(x)を求める.\ すべて前問と同じ流れである. \hspace{.5zw}$関数f(x)は,\ すべての実数x,\ yに対してf(x+y)=f(x)f(y)\ を満たす.$ \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ $f(x)>0\ であるとき,\ f(0)を求めよ.$ \\[.75zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ $f(-\,x)=\bunsuu{1}{f(x)}\ が成り立つことを示せ.$ \\[.75zh] \hspace{.5zw} (3)\ \ $f'(0)=a\ (a:定数)であるとき,\ f'(x)=af(x)\ が成り立つことを示せ.$ \\[.75zh] \hspace{.5zw} (4)\ \ $g(x)=e^{-ax}f(x)\ とするとき,\ g'(x)を求めよ.$ \\[.75zh]  (1)\ \ $\textcolor{red}{x=y=0}\ とすると f(0)=f(0)f(0)$ \\[.5zh]  (5)\ \ $g'(x)=0 より \textcolor{red}{g(x)=k}\ (k:定数)$ \\[.5zh] (1)\ \ f(x)>0ならばf(0)>0であるから,\ 両辺をf(0)で割ることができる. \\[.2zh]   もしf(0)>0という条件がなければ,\ f(0)\{f(0)-1\}=0\ より\ f(0)=0,\ 1\ となる. \\[1zh] (3)\ \ \bm{f(0)=1\ を逆に利用}して,\ \bunsuu{f(h)-1}{h}=\bunsuu{f(0+h)-f(0)}{h}\ とみなせるかがポイントである. \\[1zh] (4)\ \ (3)で求まるf'(x)=af(x)のようにf'(x)を含む方程式を\bm{微分方程式}という. \\[.2zh]   微分方程式の解法は高校では原則として学習しないので,\ (4)のような誘導がつく. \\[1zh] (5)\ \ g'(x)=0より,\ g(x)が定数関数であることがわかる. \\[.2zh]   g(x)=e^{-ax}f(x)=k\ より,\ f(x)=ke^{ax}\ と求まる. \\\\ %f'(x)=af(x)は\bm{変数分離型の微分方程式}であり,\ 高校生でも直接解ける. \\[.2zh] %発展事項として積分後に取り上げている問題集も多くある. \\[.2zh] %左辺に変数xを分離して両辺をxで積分する.  \dint{}{}\bunsuu{f'(x)}{f(x)}\,dx=\dint{}{}a\,dx \\[.8zh] %ここで,\ \log\zettaiti{f(x)}=ax+C より f(x)=\pm(e^{ax}+C) \\ e^{x+y}=e^xe^y\ を考慮すると,\ 指数関数がf(x+y)=f(x)f(y)を満たすのは明らかだろう. \hspace{.5zw}$関数f(x)は,\ すべての正の実数x,\ yに対して\ f(xy)=f(x)+f(y)\ を満たす.$ \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ $f(1)を求めよ.$   (2)\ \ $f\left(\bunsuu1x\right)=-\,f(x)\ であることを示せ.$ \\[.75zh] %\hspace{.5zw} (3)\ \ $f\left(\bunsuu1x\right)=\bunsuu{f(1)}{x}\ (x\neqq0)\ であることを示せ. \hspace{.5zw} (3)\ \ $f'(1)=a\ (a:定数)であるとき,\ f(x)を求めよ.$ \\ f(x+h)にf(xy)=f(x)+f(y)を適用するため,\ \bm{無理矢理xを分離}する. x+h=x\left(1+\bunsuu hx\right) \\[.5zh] 括弧内はいじれないので,\ \bm{無理矢理分母を\,\bunsuu hx\ として調製する}ことで,\ 微分係数の定義式になる. \\[.5zh] \log(xy)=\log x+\log y\ を考慮すると,\ 対数関数が\ f(xy)=f(x)+f(y)\ を満たすのは明らかだろう.