検索用コード
b-a\ や\ f(b)-f(a)\ を含む不等式の証明}}は,\ 平均値の定理の利用を考えてみる.$ \\[.2zh] \textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{平均値の定理を元に不等式を作成する}}ことによって,\ 不等式を証明できるのである. \\\\
\textbf{\textcolor{blue}{平均値の定理}} \\[.5zh] \centerline{$\begin{array}{l}
関数f(x)がa\leqq x\leqq bで連続,\ a<x<bで微分可能であるとする. \\[.5zh] \bm{\textcolor{red}{\bunsuu{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)\ \ (a<c<b)\ を満たす実数cが存在する.}}
\end{array}$} \\\\\\\\
(1)\ \ $\textcolor[named]{ForestGreen}{f(x)=e^x}\ とすると,\ f(x)は連続で微分可能な関数である.  f'(x)=e^x$ \\[.5zh] 平均値の定理より $\textcolor{red}{\bunsuu{e^b-e^a}{b-a}=e^c}\ \ (\textcolor{cyan}{a<c<b})\ を満たす実数cが存在する.$ \\[.5zh] $a<c    $よって e^a<\bunsuu{e^b-e^a}{b-a}<e^b$ \\[1zh] \centerline{$\therefore b-a>0より \bm{e^a(b-a)<e^b-e^a<e^b(b-a)}$} \\\\
\centerline{{\small $\left[\textcolor{brown}{\begin{array}{l}
問題の不等式はあからさまに平均値の定理を匂わすものである. \\[.2zh] 平均値の定理の利用にでは,\ \bm{どのような関数をf(x)として設定するか}が重要である. \\[.2zh] 不等式の中央部分がf(b)=e^b,\ f(a)=e^a\ とみなせるから,\ f(x)=e^x\ と設定すべきである. \\[.2zh] \bm{連続性と微分可能性}を断った上で,\ 単純に平均値の定理を適用する. \\[.2zh] この結果を問題の不等式の形まで変形していく.\ つまり,\ \bm{未知数cを消去}する. \\[.2zh] このとき,\ 脇役に思われた不等式\ \bm{a<c<b\ をメインにもってくる}ことになる. \\[.2zh] そして,\ \bm{f'(c)=e^c\ の形が表れるようにこの不等式を同値変形}する. \\[.2zh] さらに,\ \bm{f'(c)=e^c\,を\ \bunsuu{f(b)-f(a)}{b-a}\ に置き換える}ことでcが消去できる. \\[.6zh] 最後,\ 問題の形を目指し,\ b-a>0\ に注意しつつ分母をはらえばよい.
f(x)=\sin x}\ とすると,\ f(x)は連続で微分可能な関数である.  f'(x)=\cos x$ \\[.5zh] 平均値の定理より $\textcolor{red}{\bunsuu{\sin b-\sin a}{b-a}=\cos c}\ \ (\textcolor{cyan}{a<c<b})\ を満たす実数cが存在する.$ \\[.5zh] $0<a<c<b<\bunsuu{\pi}{2}\ より \textcolor{cyan}{0<\textcolor{red}{\cos c}<1}\ \ \left(\because\ \cos xは0<x<\bunsuu{\pi}{2}\ で単調減少\right)$ \\[.5zh] $よって 0<\bunsuu{\sin b-\sin a}{b-a}<1$ \\\\ \centerline{$\therefore b-a>0\ より \bm{0<\sin b-\sin a<b-a}$} \\\\
\centerline{{\small $\left[\textcolor{brown}{\begin{array}{l}
f(x)を設定すると後は(1)と同じである. \\[.2zh] ただし,\ a<c<b\ から\,\cos c\,を作り出すときは注意を要する. \\[.2zh] \bm{y=\cos x\ は\ 0<x<\bunsuu{\pi}{2}\ において単調減少関数}だからである. \\[.8zh] 0<a<c<b<\bunsuu{\pi}{2}\ より,\ \bm{1=\cos0>\cos a>\cos c>\cos b>\cos\bunsuu{\pi}{2}=0}\ となる. \\[.8zh] 最終的な不等式を考慮すると,\ このうち\ 1>\cos c>0\ を取り出してくることになる.
\end{array}}\right]$}} \\\\\\\\
(3)\ \ $\textcolor[named]{ForestGreen}{f(x)=\log x}\ とすると,\ f(x)はx>0で連続で微分可能な関数である. f'(x)=\bunsuu1x$ \\[.5zh] 平均値の定理より $\textcolor{red}{\bunsuu{\log b-\log a}{b-a}=\bunsuu1c}\ \ (\textcolor{cyan}{a<c<b})\ を満たす実数cが存在する.$ \\[.5zh] $a<c<b\ より \textcolor{cyan}{\bunsuu1b<\textcolor{red}{\bunsuu1c}<\bunsuu1a}\ \ \left(\because\ \bunsuu1x\ はx>0で単調減少\right)$ \\[.5zh] $よって \bunsuu1b<\bunsuu{\log b-\log a}{b-a}<\bunsuu1a \cdots\cdots\maru1$ \\[.5zh] \centerline{$\therefore 各辺にab\,(>0)\ を掛けると \bm{a<\bunsuu{ab}{b-a}\log\bunsuu ba<b}$} \\\\
\centerline{{\small $\left[\textcolor{brown}{\begin{array}{l}
\bm{\log\bunsuu ba=\log b-\log a}\ と考えると,\ 平均値の定理の利用がみえてくる. \\[.8zh] a<c<b\ より\ \bunsuu1a>\bunsuu1c>\bunsuu1b\ に注意して不等式を導く. \\[.8zh] 最後,\ 問題の不等式と見比べると,\ 各辺にabを掛ければよいことがわかる. \\[.2zh] \maru1において\ a=x,\ b=x+1\ とすると,\ \bunsuu{1}{x+1}<\log\left(1+\bunsuu1x\right)<\bunsuu1x\ と変形できる. \\[.8zh]  \because\ \ \log(x+1)-\log x=\log\bunsuu{x+1}{x}=\log\left(1+\bunsuu1x\right) \\[.8zh] 平均値の定理を背景とするこの不等式のように,\ よく見かける不等式には何らかの背景がある. \\[.2zh] このような不等式の証明問題を見て,\ f(x)=\bunsuu1x-\log\left(1+\bunsuu1x\right)>0\ を示すだけでは力がつかない. \\[.8zh] 試験ではゴリ押しも重要だが,\ 日頃は\bm{不等式の意味を探る}ことを心掛けて学習しておきたい. \\[.2zh] 平均値の定理の利用に関しても,\ \ ただ証明問題を解くだけでは未知の不等式に対応できない. \\[.2zh] \bm{f(x)やa,\ bを自由に設定して様々な不等式を自分で導く経験を積んでおく}ことが重要である.
f(x)=\log(\log x)}\ とすると,\ f(x)はx>0で連続で微分可能な関数である.$ \\[.5zh] $f'(x)=\bunsuu{(\log x)’}{\log x}=\bunsuu{1}{x\log x}$ \\[1zh] 平均値の定理より \\[.5zh] $\textcolor{red}{\bunsuu{\log(\log q)-\log(\log p)}{q-p}=\bunsuu{1}{c\log c}}\ \ (\textcolor{cyan}{p<c<q})\ を満たす実数cが存在する.$ \\[1zh] $e\leqq p<c    $よって \bunsuu{\log(\log q)-\log(\log p)}{q-p}<\bunsuu1e$ \\\\
\centerline{$\therefore \bm{\log(\log q)-\log(\log p)<\bunsuu{q-p}{e}}$} \\\\
\centerline{{\small $\left[\textcolor{brown}{\begin{array}{l}
e\leqq p<c よって c\log e\leqq c\log p<c\log c<c\log q \\[.2zh] 最終的な不等式を考慮すると,\ このうち必要なのは\ c\log e<c\log c,\ つまり\ c<c\log c\ である. \\[.2zh] さらに,\ \bm{もう1度e\leqq p<c<q\ を考慮}すると,\ e<c<c\log c\ より,\ e<c\log c\ が得られる.