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f(x)=x^x-(x+1)^{x-1}\ とおくと微分できずに行き詰まる. \\[.2zh] \bm{底にも指数にも変数を含む場合,\ 両辺の対数をとる.} \\[.2zh] 底a>1のとき,\ M\geqq N\ \Longleftrightarrow\ \log_a M\geqq\log_a N\ であることを利用するわけである. \\[1zh] f”(x)を計算しやすくするため,\ f'(x)は次のように変形しておく. \\[.2zh] \bunsuu{x-1}{x+1}=\bunsuu{(x+1)-2}{x+1}=1-\bunsuu{2}{x+1} \\[.8zh] \bm{(分子の次数)\geqq(分母の次数)}\ である分数式において\bm{分子の次数下げ}は基本である. \\[.2zh] また,\ f”(x)が計算しにくくなるので,\ \log x-\log(x+1)=\log\bunsuu{x}{x+1}\ と変形してはならない. \\[.2zh] 常に\bm{微分しやすい形に変形してから微分する}ことを心掛けよう. \\[1zh] 常にf”(x)\leqq0\ とf'(1)>0より,\ f'(x)が正の値から単調に減少することがわかる. \\[.2zh] しかし,\ \bm{単調に減少するからといって安易にf'(x)が正から負に変化すると考えてはいけない.} \\[.2zh] 実際,\ x\,→\,\infty\ の極限を調べると0であるから,\ \bm{x軸に漸近していく}とわかる. \\[.2zh] つまり,\ 常にf'(x)>0がいえるのである. f”(x)まで計算すると正負が判断できる. \\[.2zh] f'(-\,2)<0も考慮すると,\ f'(x)が負の値から単調に増加するとわかる. \\[.2zh] さらに極限も考慮することで,\ f'(x)が負から正に変化することがわかる. \\[.2zh] \bm{f'(x)が負から正に変化することは,\ そのxにおいてf(x)が極小となる}ことを意味する. \\[.2zh] 厄介なのは,\ f'(x)=0が解けないので極小をとるxがわからないことである. \\[.2zh] ここで,\ \bm{\underline{試しにx=0を代入}してみるとf'(0)=0}であることがわかる. \\[.2zh] f'(x)は単調増加するから,\ \bm{f'(x)=0を満たすxはただ1つであり,\ x=0以外に存在しない.} \\[.2zh] 以上からf(x)の増減表が作成できるわけである. \\[.2zh] このように,\ \bm{適当に代入して=0となるxを探す問題が存在する}ことを知っておくべきである. \\[.2zh] その場合のxは0や1などわかりやすいものであったり,\ 式の形から明らかなものである. \\[.2zh] 例えば,\ 2^x-x^2=0\ は対称性からx=2を解にもつことは明らかである.