cauchy-schwarz

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x^2+y^2=4\ のとき,\ 2x+y\ の最大値と最小値を求めよ.$ \\[1zh] \hspace{.5zw}$(2)\ x+y=5のとき,\ x^2+4y^2\ の最小値を求めよ.$ \\[1zh] \hspace{.5zw}$(3)\ x+2y+3z=7\ のとき,\ x^2+y^2+z^2\ の最小値を求めよ.$ \\  等号は,\ $\cos\theta=\pm1\ のとき,\ つまり\ \bm{\textcolor{cyan}{\bekutoru*a\heikou\bekutoru*b}}\ のとき成立する.$ \\\\ \centerline{$\bm{(\textcolor{cyan}{等号成立条件 a_1:a_2=b_1:b_2})}$} \\\\  $[2]\ \bekutoru*a=(a_1,\ a_2,\ a_3),\ \bekutoru*b=(b_1,\ b_2,\ b_3)\ とすると \centerline{$\bm{(\textcolor{cyan}{等号成立条件 a_1:a_2:a_3=b_1:b_2:b_3})}$} \\\\  この不等式は,\ \textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{ベクトルの内積に関する不等式が本質である.}} \\  よって,\ \textbf{\textcolor{blue}{2乗の和や内積とみなせる式の最大・最小問題}}で,\ これを利用できる. \\  相加相乗と同様の理由で,\ \textbf{\textcolor{cyan}{等号成立条件の確認が必須}}となるので注意. \\\\ 条件式が2乗の和の等式で,\ 2x+yは内積とみなすことができる. \\ よって,\ コーシー・シュワルツの不等式の利用を考える. \\ \bm{x^2+y^2\ に着目すると,\ まず\ \bekutoru*a=(x,\ y)\ が確定する.} \\ さらに,\ \bm{2x+y\ から,\ (2,\ 1)との内積とみなせばよい}ことがわかる. \\ x:y=2:1は,\ x=2yであるから,\ x^2+y^2=4と連立して,\ (x,\ y)が求まる. x+yは内積とみなすことができる.\ また,\ x^2+4y^2は2乗の和である. \\ よって,\ コーシー・シュワルツの不等式の利用を考える. \\ \bm{x^2+4y^2\ に着目すると,\ まず\ \bekutoru*a=(x,\ 2y)\ が確定する.} \\ さらに,\ \bm{x+y=1\cdot x+\bunsuu12\cdot2y\ と考え,\ \bekutoru*b=\left(1,\ \bunsuu12\right)}\ とする. \\ このように,\ \bm{2乗の和を基準にして,\ 無理矢理内積とみなす}のがコツである. x:y:z=1:2:3は,\ \bm{x=\bunsuu y2=\bunsuu z3}\ と考えると扱いやすい. \\ y=2x,\ z=3xとして,\ x+2y+3z=7に代入すればよい.