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大まかには,\ 次の2段階を踏む解法である. \\  難易度が高めの方法だが,\ 適用範囲はかなり広い. \\  $[1]$\ \textbf{\textcolor{red}{一旦他の文字を固定し,\ 1変数関数として最大・最小を考える}(\textcolor{blue}{予選}).} \\   \ \ これで,\ \textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{実質的に文字が1つ消去される.}} \\[.5zh]  $[2]$\ さらに,\ \textbf{\textcolor{red}{残った文字を変化させて,\ その最大・最小を考える}(\textcolor{blue}{決勝}).} \\\\  \textbf{固定する文字と変化する文字の選択次第で,\ その後の難易度が変化する.} \\  よって,\ できる限り,\ 簡単な式になるように,\ 選択する必要がある. \\  \textbf{\textcolor{red}{「高次の文字」や「登場回数が多い文字」を固定}}すると楽になりやすい. \xを定数として考える}と \phantom{ (1)}\ これは,\ $3\leqq x\leqq4\ より,\ 1\leqq x-2\leqq2\ なので,\ \textcolor{red}{傾きが正の直線}である.$ \\[.5zh] yを固定する方針でいこうとすると,\ (y+1)x-2y+1\ となる. \\ ここで,\ -2\leqq y\leqq0\ より,\ 傾きy+1は,\ -1\leqq y+1\leqq1\ である. \\ この場合,\ 傾きが正か0か負かで,\ 最大・最小となるときが変わる. \\ そのため,\ さらなる場合分けが必要になってしまい面倒である. \\ よって,\ \bm{常に傾きが正となるxを固定する}方針をとったわけである. \\ すると,\ 単なる1次関数(直線)の最大・最小問題になる. \\ xのままだとわかり辛いという人は,\ x=k\ (定数)のように一旦置換するとよい. \\ 次のような問題になるが,\ これならば経験したこともあるではないだろうか. \\ \bm{「定数kが\ 3\leqq k\leqq4\ を満たすとする.} \\ \bm{\phantom{「}このとき,\ ky+k-2y+1\ (-2\leqq y\leqq0)\ の最大・最小をkの式で表せ」} \\ 結局,\ \bm{yを変化させたときの最大・最小が,\ xの式として求まる.} \\ ここから\bm{さらにxを変化させると,\ xy+x-2y+1\ の最大・最小が求まる.} \\ 全体として,\ 「最大の最大」と「最小の最小」を求めたことになる. $xの関数とみると,\ 直線なので,\ x=3,\ 4\ の一方で最大・最小をとる.$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ $yの関数とみると,\ 直線なので,\ y=-2,\ 0\ の一方で最大・最小をとる.$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ $以上から,\ 最大・最小をとりうるのは,\ 次の4つの場合に限られる.$ \\[.2zh] \centerline{{\normalsize $\left[\textcolor{brown}{\begin{array}{l} 最初に,\ 本問は\bm{2変数x,\ yが互いに独立}であることを確認する. \\ x,\ yがそれぞれ自由に,\ 3\leqq x\leqq4,\ -2\leqq y\leqq0\ を動けるからである. \\ \bm{領域を図示したときに,\ 長方形になる}と考えてもよい. \\ そこで,\ \bm{xとyに関する最大・最小をそれぞれ別々に考える}ことができる. \\ \bm{xについてもyについても1次関数(直線)}である. \\ よって,\ 最大・最小になりうるのは,\ それぞれの区間の端に限られる. \\ つまり,\ xの関数とみると,\ 区間の端x=3,\ 4のいずれかで最大・最小をとる. \\ 同様に,\ yの関数とみると,\ 区間の端y=-2,\ 0のいずれかで最大・最小をとる. \\ 結局,\ それらの\bm{4通りの組合せを全て調べる}ことで最大・最小がわかる. yを定数とみなす}と,\ xのとりうる値の範囲先を見越して平方完成予選突破を変化させる準決勝準優勝 まず,\ 先にどちらの文字を固定して考えるかの選択が必要になる. \\ 本問の場合,\ \bm{yを固定すると,\ 最大値を求めるときに場合分けしなくて済む.} \\ また,\ yを固定すると,\ x^2-y^2\ の大小が考えやすくなるというメリットもある. \\ 変化する文字xの係数が正だからである. \\ xを固定すると,\ 変化するyの係数が負になり,\ 大小関係が逆転してややこしい. \\ さて,\ yを固定してxのとりうる値の範囲を考える. \\ 図より,\ \bm{最大は常に\ x=-\bunsuu13y+4}\ であり,\ 場合分けは必要ない. \\ 一方,\ \bm{最小は,\ y=2を境に場合分けが必要}である. \\ よって,\ 最大値は,\ 0\leqq y\leqq3\ でまとめて求めればよい. \\ \bm{x=-\bunsuu13y+4\ として予選を行い,\ その後yを変化させて決勝戦をする.} \\ 一方,\ 最小値は,\ 0\leqq y\leqq2\ と\ 2\leqq y\leqq3\ でそれぞれ求めることになる. \\ 最大と同様だが,\ \bm{場合分けしたので,\ それぞれはあくまで準決勝}である. \\ \bm{準決勝の結果をさらに比較(決勝)して,\ 最終的な答えとする.} xで整理して平方完成 3文字は完全に対等であるから,\ どの文字の関数とみても同じである. \\ まず,\ \bm{yとzを定数とみて,\ xの1変数関数とみなす.} \\ xの2次式であるから,\ \bm{平方完成して最大・最小を求める(予選).} \\ このとき,\ \bm{軸\ \bunsuu{y+z}{2}\ のとりうる値の範囲を確認する}必要がある. \\ \bm{0\leqq x\leqq1における最大値と最小値が,\ yとzの式として得られる.} \\ 次に,\ 同様にして,\ \bm{最大の最大を求める(準決勝).} \\ よって,\ yを\ 1\leqq y\leqq2\ で変化させたときの最大は \\ このように,\ yの関数とみると,\ 微妙な場合分けが必要になる. \\ 一方,\ zの関数とみると,\ 場合分けせずに済む. \\ これを見越せたため,\ 本解では,\ zの関数とみる方針をとったわけである. \\ これにより,\ \bm{最大の最大が,\ yの関数として得られる}ことになる. \\ 最後に,\ \bm{yを変化させて,\ 最大の最大の最大を平方完成して求める(決勝).} \\ 最小の最小の最小も同様の方法で求まる. \\ こちらは,\ まずyの関数とみて,\ 最後にzの関数とみれば問題はない.