1文字固定法(予選決勝法)

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(3)の最初の平方完成で3yzとなっていますが、3/2yzの誤りですm(_ _)m

大まかには,\ 以下の2段階を踏む解法である.  難易度が高くなりがちだが,\ 適用範囲は極めて広い.  よって,\ 多変数関数の最大・最小問題の最終手段的な位置づけとなる. \\  $[1]$\ \ 一旦他の文字を固定し,\ 1変数関数として最大・最小を考える}(予選}).} \\   \ \ これで,\ 実質的に文字が1つ消去される.  $[2]$\ \ さらに,\ 残った文字を変化させて,\ その最大・最小を考える}(決勝}).}  どの文字を固定してどの文字を変化させるかで,\ その後の難易度が変化する.}  「高次の文字」や「登場回数が多い文字」を固定すると後が楽になりやすい.  (1)\ \ $xを定数として考える}と xy+x-2y+1=(x-2)y+x+1}$ なので,\ 傾きが正の直線}である.$ y=0} & のとき \ 最大値\ x+1} y=-\,2} & のとき \ 最小値\ -x+5} $  $[\,x固定でyを変化させる予選\,}]$} \\ \ $[1]\ \ y=0}\ のとき x+1}\ について$ \ $\ \  3≦ x≦4\ より x=4}\ のとき 最大値\ 5}$ $[\,xを変化させる決勝\,}]$} \ $[2]\ \ y=-\,2}\ のとき -\,x+5}\ について$ \ $\ \  3≦ x≦4\ より x=4}\ のとき 最小値\ 1}$ \,$[\,xを変化させる決勝\,}]$} yを固定する方針でいこうとすると,\ 変数xの式とみなすことになるので,\ (y+1)x-2y+1\ となる. ここで,\ -2≦ y≦0\ より,\ 傾きy+1は,\ -\,1≦ y+1≦1\ である. この場合,\ 傾きが正か0か負かで,\ (y+1)x-2y+1が最大・最小をとるときが変わってしまう. さらなる場合分けが必要になり面倒なので,\ 常に傾きが正となるxを固定した}わけである. すると,\ 単なる1次関数(直線)の最大・最小問題になる. xのままだとわかり辛いという人は,\ x=k\ (定数)のように一旦置換するとよい. (k+1)x-2k+1の最大・最小を求めることになる. yを変化させたときの最大・最小がそれぞれxの式として求まるので,\ 次にxを変化させる.} すると,\ xy+x-2y+1\,の最大・最小が求まる.} 全体として「最大の最大」と「最小の最小」を求めたことになる.  $xの関数とみると,\ 直線なので,\ x=3,\ 4\ の一方で最大・最小をとる.$ $yの関数とみると,\ 直線なので,\ y=-\,2,\ 0\ の一方で最大・最小をとる.$ $以上から,\ 最大・最小をとりうるのは,\ 次の4つの場合に限られる.$ \ 本問は,\ 2変数x,\ yが互いに独立}であることを利用した別解も作成できる. x,\ yは,\ それぞれ自由に\ 3≦ x≦4,\ -\,2≦ y≦0\ を動く. 領域を図示したときに長方形になる}と考えてもよい. この場合,\ xとyに関する最大・最小をそれぞれ別々に考える}ことができる. そして,\ xy+x-2y+1は,\ xについてもyについても1次関数(直線)}である. よって,\ 最大・最小になりうるのはそれぞれの区間の端に限られる. つまり,\ xの関数とみると,\ 区間の端x=3,\ 4のいずれかで最大・最小をとる. 同様に,\ yの関数とみると,\ 区間の端y=-\,2,\ 0のいずれかで最大・最小をとる. 結局,\ それらの4通りの組合せを全て調べる}ことで全体の最大・最小がわかる. yを定数とみなしてxを変化させると,\ xが最大のときx^2-y^2\ が最大となる.}$\ $[\,予選\,}]$}  }\ \ $\ \ x=-13y+4}\ のとき$ $\left[\,最大は常に-13y+4なので場合分けの必要なし\,}\right]$}  }\ \ $\ \  最大値\ x^2-y^2=-13y+4}^2-y^2=-89y^2-83y+16$  }\ \ $\ \     \ x^2-y^2}=-89y+32^2+18}$  }\ \ $\ \ さらに,\ yを変化させてこれの最大を考える.$ $[\,yを変化させる決勝\,}]$}  }\ \ $\ \  軸y=-32,\ 0≦ y≦3}\ より y=0\ のとき 最大値\ 16}$ $[\,優勝\,}]$} \\ yを定数とみなすと,\ xが最小のときx^2-y^2\ が最小となる.}$  $[\,予選\,}]$}  }\ \ $\ \ ①\ \ 0≦ y≦2}\ のとき,\ x=-\,2y+4}\ で最小となる.$  }\ \ $\ \  \ \ 最小値\ x^2-y^2=(-\,2y+4})^2-y^2=3y^2-16y+16=3y-83^2-16}{3$  }\ \ $\ \  \ yを変化させてこれの最小を考える.$  $[\,yを変化させる準決勝}\,]$}  }\ \ $\ \  \ 軸y=83,\ 0≦ y≦2}\ より y=2\ のとき 最小値\ -\,4}$  $[\,準優勝\,}]$} \\  }\ \ $\ \ ②\ \ 2≦ y≦3}\ のとき,\ x=3y-6}\ で最小となる.$  }\ \ $\ \  \ \ 最小値\ x^2-y^2=(3y-6})^2-y^2=8y^2-36y+36=8y-94^2-9}{2$  }\ \ $\ \  \ \ yを変化させてこれの最小を考える.$  $[\,yを変化させる準決勝}\,]$}  }\ \ $\ \  \ \ 軸y=94,\ 2≦ y≦3}\ より y=94\ のとき 最小値\ -92}$  $[\,準優勝\,}]$}  }\ \ $\ \  \ ∴ ①,\ ②\ より y=94\ のとき \ 最小値\ -92}$ {\normalsize $\left[\,優勝\,}\right]$} まず,\ 先にどちらの文字を固定して考えるかの選択が必要になる. x^2-y^2\ の大小は,\ 係数が負のyを固定した方が考えやすい. xを固定すると,\ yが最大のときx^2-y^2\,が最小になるのでややこしい. さて,\ yを固定してxのとりうる値の範囲を考える. 連立不等式の条件は領域を図示して考える}のが基本である. yを固定するということは,\ 図ではx軸に平行な直線を考えることである. 図より,\ 0≦ y≦3の範囲でのxの最大は常に\ x=-13y+4}\ なので場合分けは必要ない(予選). 後はyを変化させる決勝戦を行うと,\ x^2-y^2\,の最大値が16であることがわかる. 一方,\ yを固定したときのxの最小はy=2を境に変わるので場合分けが必要}である. 0≦ y≦2\ と\ 2≦ y≦3\ のときでそれぞれ最小値を求めることになる. 最大の場合と同様にその後yを変化させるが,\ 場合分けしたのであくまで準決勝}である. 準決勝の結果をさらに比較(決勝)して,\ 最終的な答えとする.  (3)\ $x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx$ $ =x^2-(y+z)x+y^2-yz+z^2$ $ =x-y+z}{2}^2+34y^2-3yz+34z^2}$  $[\,xで整理して平方完成\,}]$} $1≦ y≦2,\ 2≦ z≦3\ より 軸について 32≦y+z}{2}≦52$ $よって,\ 0≦ x≦1}\ における最大値と最小値は$  $[\,xを変化させる予選\,}]$} $ x=0}\ で 最大値\ y^2-yz+z^2} x=1}\ で 最小値\ y^2-yz+z^2-y-z+1} $}  }\ \ $[1]\ \ x=0}\ のとき 最大値\ y^2-yz+z^2\ について$ $y^2-yz+z^2=z^2-yz+y^2=z- y2^2+34y^2} ・・・・・・\,①$} $ここで 1≦ y≦2\ より 軸について 12≦ y2≦1$ $よって,\ 2≦ z≦3}\ における①の最大値は z=3}\ のとき$  $[\,zを変化させる準決勝\,}]$} $最大値\ y^2-3y+9=y-32^2+27}{4 ・・・・・・\,②$ $さらに,\ 1≦ y≦2}\ における②の最大値は$  $[\,yを変化させる決勝\,}]$} $y=1,\ 2}\ のとき \ 最大値\ 7}$}  }\ \ [2]\ \ $x=1}\ のとき 最小値\ y^2-yz+z^2-y-z+1\ について$   $y^2-yz+z^2-y-z+1=y^2-(z+1)y+z^2-z+1$   $y^2-yz+z^2-y-z+1}=y-z+1}{2}^2+34z^2-32z+34} ・・・・・・\,③$ \ $ここで 2≦ z≦3\ より 軸について 32≦z+1}{2}≦2$ \ $よって,\ 1≦ y≦2}\ における③の最小値は y=z+1}{2\ のとき$ $[\,yを変化させる準決勝\,}]$} \ $最小値\ 34z^2-32z+34=34(z-1)^2} ・・・・・・\,④$ \ $さらに,\ 2≦ z≦3}\ における④の最小値は$  $[\,zを変化させる決勝\,}]$} $z=2}\ のとき 最小値\ 34}$} 式の3文字は完全に対等だが,\ 各文字の範囲は同じではない. 範囲がどのように影響するかを考え,\ どの文字を固定すると楽になるかを見通すことは難しい. 素直にyとzを定数とみて,\ xの1変数関数とみなす}ことにする. xについては2次式であるから,\ 平方完成して最大・最小を求める(予選).} このとき,\ 軸\ y+z}{2}\ のとりうる値の範囲を確認する}必要がある. 32≦ 軸≦52\,より,\ 軸はこの範囲内のどこかにある. 軸がこの範囲内のどこにあったとしても,\ x=0のとき最大,\ x=1のとき最小をとることがわかる. 次に,\ 同様にして最大の最大を求める(準決勝).} yの関数とみると,\ y^2-yz+z^2=y- z2^2+34z^2\,の軸について\ 1≦ z2≦32\ である. よって,\ yを\ 1≦ y≦2\ で変化させたときの最大は このように,\ yの関数とみると軸\, z2\,がどこにあるかで微妙な場合分けが必要になる. これを見越し,\ 解答ではyを固定してzの関数とみる方針をとったわけである. 最大の最大がyの関数として得られる}ことになる. 最後に,\ さらにyを変化させて最大の最大の最大を平方完成して求めればよい(決勝).} 最小の最小の最小も同様の方法で求まる. この場合は,\ 普通にyの関数とみて準決勝を行い,\ 最後にzの関数とみて決勝を行えばよい.