homogeneous-expression1

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(1)には2つの特徴がある.\ まずはそれを確認しよう. \\  \textbf{\textcolor{purple}{1つ目の特徴}}は,\ $x^2+2xy+3y^2\ が,\ \bm{\textcolor{red}{全て2次の項}}で作られている点である.$ \\  このような式を,\ \textbf{\textcolor{blue}{2次同次式}}という. \\  \textbf{\textcolor{purple}{2つ目の特徴}}は,\ \textbf{\textcolor{red}{条件式が図形的に円を表す}}点である. \\\\  この特徴を持つ問題の最大・最小では,\ $\bm{\textcolor{red}{x,\ yを媒介変数表示にする.}}$ \\  条件が円なので,\ (1)では,\ $\bm{\textcolor{red}{(x,\ y)=(\cos\theta,\ \sin\theta)}}\ とおける.$ \\  結局,\ $1変数\ \theta\ の関数に帰着する.$ \\  具体的には,\ $\bm{\textcolor[named]{ForestGreen}{三角関数の\sin\theta\ と\ \cos\theta\ の2次同次式のパターン問題}}だ.$ \\  このパターン問題の解法を簡単に確認しておく. \\[.5zh]   $[1]\ 次の公式を用いて,\ \bm{\textcolor{cyan}{角を2\theta\ に統一}}する.$   $[2]\ さらに,\ \bm{\textcolor{cyan}{三角関数の合成により,\ 変数\ \theta\ を1ヶ所に集める.}}$ \\\\\\ 媒介変数表示するとき,\ \theta\ の範囲は,\ 円の1周分で十分なので,\ とする. \\ 1周しているならば,\ 角の範囲はないも同然である. \\ よって,\ \sin のとりうる値の範囲は,\ 単純に-1から1までとなり,\ 楽に求まる. \\ さて,\ 最大・最小となるときの(x,\ y)は,\ かなり大変だが,\ 求めることができる. \\ 要求されることもあるので,\ 求めることができるようにしておいてほしい. \\ 半角の公式・補角の公式・余角の公式等をうまく用いると,\ 少ない労力で求まる. \\ 文系は学習しないが,\ \bm{4x^2+9y^2=36\ は楕円}である. \\ 大まかには,\ x^2とy^2の係数が等しいものが円で,\ 異なるものが楕円である. \\ まず,\ \bm{条件式を=1の形にする.} \\ と比較する. \\[.5zh] つまり,\ \bm{\bunsuu x3=\cos\theta,\ \bunsuu y2=\sin\theta}\ とおけばよいことがわかる. \\ 後は,\ 三角関数の2次同次式のパターン問題である. \\ 本問は,\ 合成するときに綺麗な角にはならない. \\ よって,\ \bm{角を\ \alpha\ とし,\ \cos\alpha,\ \sin\alpha\ の値を併記する.} \\ このとき,\ \alpha\ が,\を満たす\namikasen{\textbf{定角}}}であることに注意する. \\ (1)と同様,\ 角の範囲が1周より大きいので,\ とりうる値の範囲は容易に求まる. \\ さて,\ 最大・最小となるときの(x,\ y)も大変だが求めておく. \\ 他も同様にして求めればよいので省略. \\ (複合同順)\ で最小をとる.