independent-variable

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最小値を求めよ.$ \\[1zh] \hspace{.5zw}$(2)\ 1\leqq x\leqq3,\ -1\leqq y\leqq4\ のとき,\ (1)の最大値と最小値を求めよ.$ \\[1zh] \hspace{.5zw}$(3)\ x^2+2xy+2y^2+4x-2y+1\ の最小値を求めよ.$ \\  $x+y=4のような条件がある場合,\ \bm{\textcolor[named]{ForestGreen}{2変数xとyは従属関係にある}}.$ \\  $xとyが,\ 互いに自由に動けないからである.$ \\  例えば,\ $x=3とすると,\ yは自動的にy=1に制限されてしまう.$ \\\\  一方,\ $\bm{何の条件もなければ,\ \textcolor{red}{2変数xとyは独立である}}といえる.$ \\  このとき,\ $xとyは互いに自由に動くことができる.$ \\ \ \ \ $\bm{\textcolor{red}{変数が互いに独立ならば,\ 各文字についての大小を別々に考えればよい.}}$ \\\\ 何の条件もないので,\ \bm{2変数xとyは独立}である. \\ よって,\ \bm{xを含む部分x^2+2xとyを含む部分y^2-4yを別々に扱えばよい.} \\ 2次式なので,\ それぞれを平方完成して最大・最小を考える. \\ 結局,\ x+1=0\ かつ\ y-2=0のとき,\ 最小となることがわかる. xとyの不等式条件があるが,\ \bm{それぞれ勝手に範囲内を動ける.} \\ よって,\ \bm{2変数xとyが独立である}ことには変わりない. \\ ゆえに,\ \bm{(x+1)^2\ と\ (y-2)^2\ の最大・最小を別々に考えればよい.} \\ 与えられた条件を元に,\ 取りうる値の範囲を順番に考えていく. \\ x+1=4,\ つまり\ x=3\ のとき,\ (x+1)^2\ の最大値\ 16 \\ x+1=2,\ つまり\ x=1\ のとき,\ (x+1)^2\ の最小値\ 4 \\ -3\leqq y-2\leqq2\ だからといって,\ 9\leqq(y-2)^2\leqq4\ ではないので注意! \\ Y=X^2\ (-3\leqq X\leqq2)の値域は,\ 当然\ 0\leqq Y\leqq9\ であろう. \\ y-2=-3,\ つまり\ y=-1\ のとき,\ (y-2)^2\ の最大値\ 9 \\ y-2=0,\ つまり,\ y=2\ のとき,\ (y-2)^2\ の最小値\ 0 \\ 結局,\ 最大値\ 16+9-4=21,\ 最小値\ 4+0-4=0 xとyは独立だが,\ \bm{2xyの項は,\ xとyの両方に依存する.} \\ この場合,\ まず\bm{xまたはyの1文字の式と見て平方完成}を行う. \\ 本問は,\ xの係数が1なので,\ xで整理してから平方完成する. \\ \bm{xの式とみたときの最小は,\ x=-y-2\ のとき,\ y^2-6y-3}\ とわかる. \\ さらに,\ \bm{y^2-6y-3\ をyについて平方完成し,\ yについての最小を求める.} \\ 結局,\ 2段階で平方完成して,\ 両方とも( )^2=0となるときが最小である. \\ 後で述べる1文字固定法(予選決勝法)と実質同じ方法である.