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検索用コード
a$を定数とし,\ 2次関数$y=x^2-(a+4)x+\bunsuu18a^2+\bunsuu52a+\bunsuu{13}{2}$の最小値を$m$とする. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ $m$を$a$の式で表せ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ $a$の関数$m$の最大値とそのときの$a$の値を求めよ. \\
2次関数の最小値の最大値}
(1)\ \ 2次関数の最小値mを求めるのであるから,\ 平方完成すると直ちに求まる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ aは定数であり,\ 普通の数と同じ扱いである. \\[1zh] (2)\ \ \bm{aを変数とみてmの最大値を求めよ}ということである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ aについての2次関数であるから,\ 平方完成すると最大値が求められる. \\[1zh] 数\text{I\hspace{-.1em}I}の範囲になるが,\ 本問を図形的にとらえると最小値の最大値が直感的に理解できる. \\[.2zh] 与えられた関数の頂点は,\ aの値を一定とすると\left(\bunsuu{a+4}{2},\ -\bunsuu18(a-2)^2+3\right)である. \\[.8zh] ここで,\ aの値を変化させると,\ それに応じて頂点の位置も変化する. \\[.2zh] aを変化させたときに頂点がどのような移動をするか(軌跡を描くか)を求めることができる. \\[.2zh] 頂点を(x,\ y)とすると x=\bunsuu{a+4}{2},\ \ y=-\bunsuu18(a-2)^2+3  この2式からaを消去する. \\[.8zh] a=2x-4 より y=-\bunsuu18(a-2)^2+3=-\bunsuu18(2x-6)^2+3=-\bunsuu12(x-3)^2+3 \\[.8zh] これが頂点が描く軌跡であり,\ 様々なaの値における頂点に点を打っていくと現れる曲線である. \\[.2zh] 上図では,\ 参考として問題の式にa=-\,6,\ -\,1,\ 2,\ 5,\ 10を代入したときのグラフを示した. \\[.2zh] 最小値(頂点のy座標)が最大となるのがa=2のときであることがわかるだろう.