以下はGeoGebraによる作図です。自分でスライダー(区間の右端)を動かして最大・最小の変化を確認してください。
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検索用コード
a>1のとき,\ 関数\ f(x)=x^2-4x+5\ (1\leqq x\leqq a)\ の最大値と最小値を求めよ.$ \\
\\[-.8zh] \hline
\end{tabular} \\\\
\centerline{{\Large \textbf{\textcolor{blue}{2次関数の最大・最小(関数固定で区間の一端が動く)}}}} \\\\
数学では,\ \textbf{\textcolor{red}{何が一定で何が変化するか}}を常に意識する必要がある. \\[.2zh] 本問は,\ \textbf{\textcolor{red}{関数($\bm{x^2-4x+5}$)と区間の左端($\bm{x=1}$)が一定}}である. \\[.2zh] また,\ $a$が変化すると\textbf{\textcolor{red}{区間の右端$\bm{x=a}$が変化}}する. \\[.2zh] つまり,\ \textbf{\textcolor{cyan}{区間の幅がどんどん広がっていくときの最大・最小}}を考えることになる. \\\\\\
\fbox1 最初に,\ \textbf{\textcolor{red}{変化しない関数を明確に図示}}する.  $f(x)=x^2-4x+5=(x-2)^2+1$ \\[.2zh] \phantom{ \fbox1} また,\ \textbf{\textcolor{ForestGreen}{変化しない区間の左端も明確に図示}}する. \\[1zh] {区間の\underline{右端}を左から右に動かしていき,\ 区間内での最大・最小を考える.}} \\[.2zh] \phantom{ \fbox2} \textbf{\textcolor{Purple}{最大・最小をとるときの$x$の値が変わる瞬間に着目し,\ 場合分けする.}
とにかく,\ 関数x^2-4x+5と区間の左端x=1が一定であることを強烈に意識する. \\[.2zh] 3つの図は,\ 関数と区間の左端は動かず区間の右端が動くことがわかるよう上下でそろえてある. \\[1zh] \bm{x=1の近くに区間の右端x=aがある場合},\ 最大をとるのは\bm{区間の左端x=1のとき}である. \\[.2zh] ここから\bm{区間の右端x=aを右に移動}させていき,\ \bm{最大をとるときのxの値が変わる瞬間を探す.} \\[.2zh] 最大がx=1のみから変わるのは,\ \bm{y座標が同じになる瞬間}である. \\[.2zh] グラフの対称性より,\ a=3のときである.\ このとき,\ \bm{x=1,\ 3の両方で,\ 同じ値の最大}をとる. \\[.2zh] 区間の右端がこの瞬間から\bm{少しでも右に移動すると,\ 区間の右端x=aで最大}をとるようになる. \\[.2zh] 要するに,\ \bm{区間の右端aが3の左側,\ ちょうど3,\ 3の右側の3つの場合分け}になる. \\[.2zh] 元々a>1という条件があるので,\ [1]ではa<3ではなく1<a<3としている.
\bm{x=1の近くに区間の右端x=aがある場合},\ 最小をとるのは\bm{区間の右端x=aのとき}である. \\[.2zh] ここから\bm{区間の右端x=aを右に移動}させていき,\ \bm{最小をとるときのxの値が変わる瞬間を探す.} \\[.2zh] \bm{区間の右端x=aがグラフの軸x=2と一致した瞬間以降は常にx=2で最小}となる. \\[.2zh] 結局,\ \bm{区間の右端a<2と2\leqq aの2つの場合分け}になる.
前問の最大値と最小値を$a$の関数とみてそれぞれ$M(a),\ m(a)$と表す. \\[.2zh] \hspace{.5zw}$b=M(a)$と$b=m(a)$のグラフを同一の$ab$平面上に図示せよ.