以下はGeoGebraによる作図です。自分でスライダー(区間)を動かして最大・最小がどう変化するかを確認してください。
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検索用コード
関数\ f(x)=x^2-4x+5\ (a\leqq x\leqq a+2)\ の最大値と最小値を求めよ.$ \\
2次関数の最大・最小(関数固定で区間が一定幅で動く)}}}} \\\\
数学では,\ \textbf{\textcolor{red}{何が一定で何が変化するか}}を常に意識する必要がある. \\[.2zh] 本問は,\ \textbf{\textcolor{red}{関数($\bm{x^2-4x+5}$)が変化しない.}}\ 一方,\ $a$が変化すると\textbf{\textcolor{red}{区間の両端が変化}}する. \\[.2zh] 一見すると,\ 意識すべき事項はこれだけに思えるかもしれない. \\[.2zh] しかし,\ 本問は\textbf{\textcolor{red}{区間の幅が常に2で一定}}であることの意識が最も重要である. \\[.2zh] つまり,\ \textbf{\textcolor{cyan}{一定幅区間が左から右に動いたときの最大・最小}}を考えることになる. \\\\\\
\fbox1 最初に,\ \textbf{\textcolor{red}{変化しない関数を明確に図示}}する. $f(x)=x^2-4x+5=(x-2)^2+1$ \\[1zh] 一定幅}の区間を左から右に動かしていき,\ 区間内での最大・最小を考える.}} \\[.2zh] \phantom{ \fbox2} \textbf{\textcolor{Purple}{最大・最小をとるときの$\bm{x}$の値が変わる瞬間に着目し,\ 場合分けする.}}
[1]\,~\,[3]\,より \bm{\begin{cases}
a<1\ のとき & x=aで最大値\,a^2-4a+5 \\[.2zh] a=1\ のとき & x=1,\ 3で最大値\,2 \\[.2zh] a>1\ のとき & x=a+2で最大値\,a^2+1
とにかく,\ 関数x^2-4x+5と区間の幅2が一定であることを強烈に意識する. \\[.2zh] 3つの図は,\ 関数が一定で,\ 区間幅を2に保ったまま動くことがわかるよう上下でそろえてある. \\[1zh] \bm{区間が左の方にある場合},\ 最大をとるのは\bm{区間の左端x=aのとき}である. \\[.2zh] ここから\bm{幅2の区間を右に移動}させていき,\ \bm{最大をとるときのxの値が変わる瞬間を探す.} \\[.2zh] このとき,\ \bm{区間の中央に着目}する必要がある. \\[.2zh] 一般に,\ 中央は両端を足して2で割ると求まる.\ aとa+2の中央は\ \bunsuu{a+(a+2)}{2}=a+1\ である. \\[.6zh] 最大がx=aのみから変わるのは,\ \bm{区間の中央x=a+1が軸x=2と一致する瞬間}である. \\[.2zh] このとき,\ \bm{x=1,\ 3の両方で,\ 同じ値の最大}をとる. \\[.2zh] 区間がこの瞬間から\bm{少しでも右に移動すると,\ 区間の右端x=a+2で最大}をとるようになる. \\[.2zh] 要するに,\ \bm{区間の中央a+1が軸2の左側,\ ちょうど2,\ 2の右側の3つの場合分け}になる. \\[.2zh] [3]のf(a+2)は,\ (x-2)^2+1に代入するとすぐに求まる.
前問の最大値と最小値を$a$の関数とみてそれぞれ$M(a),\ m(a)$と表す. \\[.2zh] $b=M(a)$と$b=m(a)$のグラフを同一の$ab$平面上に図示せよ.
M(a)とm(a)のグラフの意味合いを確認しておく. \\[1zh] y=x^2-4x+5は下に凸の2次関数なので,\ 区間の端x=a,\ a+2のいずれかで最大をとる. \\[.2zh] すなわち,\ f(a)=a^2-4a+5とf(a+2)=a^2+1を比較して大きい方が最大である. \\[.2zh] よって,\ \bm{f(a)とf(a+2)のグラフの上にある方をなぞるとM(a)のグラフとなる.} \\[.2zh] f(a+2)は,\ f(a)のaをa+2に置き換えたものである. \\[.2zh] よって,\ f(a+2)はf(a)をa方向に-2平行移動したグラフである. \\[1zh] まず,\ 頂点が区間内にあるとき(0\leqq a\leqq2)はそこで最小となる. \\[.2zh] 頂点が区間内にないとき,\ 区間の端x=a,\ a+2のいずれかで最小をとる. \\[.2zh] よって,\ \bm{f(a)とf(a+2)のグラフの下にある方をなぞるとm(a)のグラフとなる.}