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y=f(x)}$を$\bm{x軸方向にp,\ y軸方向にq}$平行移動した関数$\bm{y=g(x)}$}}を求めよう. \\[1zh] グラフを含めた座標平面上の全ての図形は,\ 数学的には\textbf{\textcolor{red}{条件を満たす点の集合}}である. \\[.2zh] よって,\ グラフの移動の本質は点の移動である. \\[.2zh] そして,\ \textbf{\textcolor{ForestGreen}{どのような条件を満たすべきかを求めれば,\ それが求める関数である.}
平行移動により,\ $y=f(x)$上の点$(x,\ y)$は点$(x+p,\ y+q)$に移る. \\[.2zh] 当然,\ 点$(x+p,\ y+q)$は求める関数$y=g(x)$上にあるはずである. \\[.2zh] よって,\ $y=g(x)$に点$(x+p,\ y+q)$を代入して成り立たなければならない. \\[.2zh] しかし,\ この条件を立式しようにも,\ そもそも$y=g(x)$は求める関数であり,\ 不明である. \\[.2zh] 式がわかっているのは元の関数$y=f(x)$だけである.\ そこで,\ \textbf{\textcolor{Purple}{逆に考える}}ことになる.
{$\bm{y=g(x)}$上の点$\bm{(x,\ y)}$を逆に平行移動した点$\bm{(x-p,\ y-q)}$が$\bm{y=f(x)}$上に存在する.}}} \\[.2zh] よって,\ $y=f(x)$に点$(x-p,\ y-q)$を代入して成り立たなければならない. \\[.2zh] つまり,\ $\bm{\textcolor{red}{y-q=f(x-p)}}\ \cdots\cdots\maru1$が成立する. \\[.2zh] これが$y=g(x)$が満たすべき条件であり,\ それゆえ$y=g(x)$の式に他ならない. \\[.2zh] 結局,\ $y=f(x)$を$x軸方向にp,\ y軸方向にq$平行移動するには,\
\maru1より,\ $y=f(x-p)+q$である. \\[.2zh] この式を見て,\ 「何故$p$は引くのに$q$は足すのか」という疑問をもつ人がいる. \\[.2zh] しかし,\ 原理から理解しておけば,\ そのような疑問は生じないだろう. \\\\
$放物線\ y=2x^2-x+3\ をx軸方向に1,\ y軸方向に-2$平行移動した放物線の \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ 方程式を求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ $x軸方向に2,\ y軸方向に-3$平行移動すると放物線$y=3x^2-5x+1$に移るよう \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ な放物線の方程式を求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw}(3)\ \ $放物線\ y=-\,x^2+4x-1\ は,\ 放物線\ y=-\,x^2-2x+5$をどのように平行移動 \\[.2zh] $求める放物線の方程式は の頂点の座標は 
(1)\ \ xをx-1,\ yをy-(-\,2),\ つまりy+2に置換すればよいだけである.\ 括弧を付け忘れない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 2次関数に限っては,\ \bm{頂点を求め,\ それを平行移動する別解}も考えられる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ しかし,\ 回りくどい上に汎用性がない.\ あらゆる関数に通用する本解のほうが重要である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 最終的な答えは一般形y=2x^2-5x+4でも基本形y=2\hspace{-.2zw}\left(x-\bunsuu54\right)^2+\bunsuu78\ でもよい. \\[1zh] (2)\ \ 逆に平行移動すればよい.\ \pm を間違えやすいので注意する. \\[1zh] (3)\ \ \bm{頂点の移動を考える}方が簡潔である.\ y=-\,x^2+4x-1が移動後であることに注意する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ (-\,1,\ 6)をどのように移動させると(2,\ 3)になるかを答えなければならない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 置換する方針は面倒である(別解).\ 文字でおいて平行移動させた後,\ \bm{係数比較}することになる.