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a$を定数とするとき,\ 連立方程式\ $\begin{cases}
ax+y=1 & \cdots\maru1 \\[.2zh] x+ay=1 & \cdots\maru2
文字係数の2元連立1次方程式}}}} \\\\[.5zh] $\maru1\times a-\maru2\ より (a^2-1)x=a-1    よって \textcolor{red}{(a+1)(a-1)x=a-1}\ \cdots\maru3$ \\\\
\begin{tabular}{lll}
[1]\ \ $\textcolor{cyan}{a\neqq\pm\,1}\ のとき$ & $\maru3より\ \ \textcolor{red}{x=\bunsuu{1}{a+1}}$ & $\maru1より\ \ y=1-a\cdot\bunsuu{1}{a+1}=\bunsuu{1}{a+1}$ \\\\
[2]\ \ $\textcolor{cyan}{a=1}\ のとき$ & $\maru3より\ \ \textcolor{red}{xは全ての実数.}$  & $\maru1より\ \ x=t\ とすると y=1-t$ \\\\
[3]\ \ $\textcolor{cyan}{a=-\,1}\ のとき$ & $\maru3より\ \ \textcolor{red}{xは存在しない.}$ &
\end{tabular} \\\\\\
\centerline{$\therefore\ \ \begin{cases}
\bm{a\neqq\pm\,1}\ のとき & \bm{(x,\ y)=\left(\bunsuu{1}{a+1},\ \bunsuu{1}{a+1}\right)} \\[1zh] \bm{a=1}\ のとき & \bm{(x,\ y)=(t,\ 1-t)\ \ (tは全ての実数)} \\[.3zh] \bm{a=-\,1}\ のとき & \bm{解なし.}
基本的には普通の連立方程式のように解けばよい.\ yを消去するとxの1次方程式(\maru3)に帰着する. \\[.2zh] 係数に文字を含むので,\ 安易にx=\bunsuu{1}{a+1}\ としてはならない.\ \bm{0で割ることは許されない}のである. \\[1.2zh] (a+1)(a-1)\neqq0,\ つまりa\neqq\pm\,1のとき,\ x=\bunsuu{a-1}{(a+1)(a-1)}=\bunsuu{1}{a+1}\ とできる. \\[1zh] 普通の方程式と同様,\ \maru1にxの値を代入してyの値を求める. \\[1zh] a=1のとき,\ 0\cdot x=0となる.\ これはxに何を代入しても成立するから,\ xは全ての実数となる. \\[.2zh] a=1のとき\maru1はx+y=1であり,\ xが全ての実数ならばyも全ての実数である. \\[.2zh] だからといって,\ 「xとyは全ての実数」と解答してはならない. \\[.2zh] xとyが無関係に全ての実数をとるわけではないからである.\ 例えば,\ (x,\ y)=(1,\ 2)は解ではない. \\[.2zh] (x,\ y)=(1,\ 0),\ (0,\ 1),\ \left(\bunsuu12,\ \bunsuu12\right)などのように,\ x+y=1を満たす全ての実数が解である. \\[.6zh] この場合,\ \bm{一方を文字でおいて解を表現する}のが普通である. \\[1zh] a=-\,1のとき,\ 0\cdot x=-\,2となる.\ これはxに何を代入しても成立しない. \\[.2zh] 当然,\ 連立方程式の解も存在しない.
さて,\ 連立1次方程式の解は,\ 図形的にとらえると直感的に理解できる(数I\hspace{-.1em}I). \\[.2zh] 1次方程式は図形的には直線を表すから,\ 連立1次方程式の解は2直線の共有点である. \\[.2zh] 2直線の位置関係は,\ 1点で交わる場合を含め,\ 全部で以下の3つの場合がある. \\[.2zh] それに対応して,\ 連立1次方程式の解も本質的には3つに分類される. \\[.2zh] 文字係数によって複数の可能性が考えられるならば,\ 場合分けをして答えることになる. \\\\
}{1点で交わる}}{ただ1組の解をもつ一致する}{無数の解をもつ{平行で異なる解をもたない
先の解答では\maru3に$a=\pm\,1$を代入したが,\ 問題の式(\maru1,\ \maru2)に$a=\pm\,1$を代入してもよい. \\[.5zh] [2]\ \ $\textcolor{cyan}{a=1}$のとき,\ \textcolor{ForestGreen}{\maru1と\maru2はともに$x+y=1$}となる.\ これを満たす$(x,\ y)$は無数にある. \\[.5zh] [3]\ \ $\textcolor{cyan}{a=-\,1}$のとき,\ \textcolor{ForestGreen}{\maru1は$y=x+1$,\ \maru2は$y=x-1$}となる.\ これを満たす$(x,\ y)$はない.