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a,\ b$を定数とするとき,\ 次の方程式を解け. \\[1zh] \hspace{.5zw}(1)\ \ $ax=2$  (2)\ \ $(a^2+1)x=1$  (3)\ \ $a^2x+2=4x+a^2-a$  (4)\ \ $ax=b$ \\
解は全ての実数.} \\[.2zh] \bm{b\neqq0}\ のとき \textcolor{red}{0\cdot x=b\,(\neqq0)}\ より & \bm{解なし.}
(1)\ \ x=\bunsuu2a\ のみで解答を終えると0点である. \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \ ax=2をx=\bunsuu2a\,にしたということは,\ 両辺をaで割ったということである. \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \ しかし,\ そもそも数学では0で割ることが許されていない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ 問題にa\neqq0とでもない限り,\ a\neqq0とa=0の場合を分けて答えなければならない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ このように,\ \bm{安易に文字で割ってはいけない}のである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ a=0のときの解は実際に代入して考える. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 0\cdot x=2はxに何を代入しても等号が成立しないから,\ 解なしとなる. \\[1zh] (2)\ \ 常にa^2\geqq0より常にa^2+1>0であり,\ a^2+1=0となることはありえない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ 場合分けの必要はなく,\ 単純にa^2+1で両辺を割ることができる. \\[1zh] (3)\ \ 複雑に見えるが,\ 結局はxについての1次方程式である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 普通の1次方程式と同様,\ ax=bの形に変形するのが先決である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ さらに,\ 因数分解できることに気付かなければならない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ (a+2)(a-2)\neqq0,\ つまりa=\pm\,2のとき,\ 両辺を(a+2)(a-2)で割ることができる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ このとき,\ x=\bunsuu{(a+2)(a-2)}{(a+1)(a-2)}=\bunsuu{a+2}{a+1}\ となる. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ 0\cdot x=0はxに何を代入しても等号が成立するから,\ 解は全ての実数となる. \\[1zh] (4)\ \ aが0か否かで場合分けがいるのはもちろん,\ bが0か否かでも解が変わるので場合分けがいる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 結局,\ 1次方程式の解が本質的には3種類あることがわかる.