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次の不等式を満たす実数$x$が存在するような定数$a$の値の範囲を求めよ.{1次不等式の解の存在条件}}}}を満たす実数xが存在する}\を満たす実数xが存在する}\ を満たす$a,\ b,\ c,\ d$の並びは以下の6パターンがあり得る. \\[.2zh] \phantom{ [1]}\ \ このうち,\ 共通部分が存在する4パターンは全て$a<d\ かつ\ c<b$を満たす.
a<b,\ c<dという前提のもとでのa,\ b,\ c,\ dの並び方は\ \bunsuu{4\kaizyou}{2\kaizyou2\kaizyou}=6通りである. \\[.6zh] 場合の数分野の「一定の順序を含む順列」に相当する. \\[1zh] a<dを満たしていてもc<bを満たさなければ\maru1となる. \\[.2zh] c<bを満たしていてもa<dを満たさなければ\maru2となる. \\[.2zh] よって,\ a<dとc<bの両方が必要で,\ これでaとb,\ aとd,\ bとc,\ cとdの大小関係が決まる. \\[.2zh] \maru3~\maru6を見比べるとわかるように,\ aとc,\ bとdの大小は決まらない. \\[1zh] 実は,\ 実数xが存在しない条件を否定した方がわかりやすい(集合分野の知識を要する). \\[.2zh] 実数xが存在しない\ \Longleftrightarrow\ \maru1または\maru2\ \Longleftrightarrow\ b\leqq c\ または\ d\leqq a\ (等号を含む点に注意) \\[.2zh] a<x<bかつb<x<dとなるから,\ b=cのときも不等式を満たす実数xは存在しないのである. \\[.2zh] 否定すると,\ 実数xが存在する\ \Longleftrightarrow\ b>c\ かつ\ d>a\ である.
\end{array}}\right]$}} \\\\\\\\
(1)\ \ $\textcolor{red}{4a+1<3-2a} より \bm{a<\bunsuu13}$ \\\\
(2)\ \ $\zettaiti{x-2a} \phantom{ (2)}\ \ $実数xの存在条件は \textcolor{red}{2a-3<a+1 かつ a-4<2a+3}$ \\[1zh] \centerline{$\therefore a<4\ かつ\ -7<a$ より $\bm{-\,7<a<4}$} \\\\\\
\centerline{{\small $\left[\textcolor{BrickRed}{\begin{array}{l}
(1)\ \ ちなみに,\ \begin{cases}
a\leqq x\leqq bを満たす実数xが存在する\ \Longleftrightarrow\ a\leqq b \\[.2zh] a\leqq x< bを満たす実数xが存在する\ \Longleftrightarrow\ a<b
\end{cases}\hspace{-.5zw}である. \\\\[-1zh] \phantom{(1)}\ \ \rei\ \ a=b=1のとき,\ 1\leqq x\leqq1を満たすxには1があるが,\ 1\leqq x<1を満たすxはない. \\[1zh] (2)\ \ とりえあず絶対値付き不等式を解く.\ 瞬殺型である.  \zettaiti x<a\ \Longleftrightarrow\ -\,a<x \phantom{(2)}\ \ \bm{aの値によらず\ a-4<a+1,\ 2a-3<2a+3}\ であるから,\ 単純に[2]を適用すればよい. \\[.2zh]