検索用コード
次の不等式を満たす整数がちょうど3個存在するとき,\ 実数$a$の値の範囲を求めよ. \\[1zh] {1次不等式の整数解の個数}}}} \\\\[.5zh] 1次不等式の整数解の個数問題には,\ 明確なパターン的解法が存在しない. \\[.2zh] その都度,\ 数直線を書いて条件を考える必要がある. \\[.2zh] このとき,\ \textbf{\textcolor{red}{等号を含むか否かを非常に慎重に判断しなければならない.
単純に数直線で考えるだけで良さそうだが,\ 多くの人が等号の有無を間違える. \\[.2zh] \bm{等号が成立するときに問題の条件を満たすかを個別に確認してみる}のが確実である. \\[1zh] (1)\ \ 1<x<aならば1は含まれないから,\ 範囲に整数2,\ 3,\ 4が含まれていなければならない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ 単純にはaが4と5の間にあればよいわけだが,\ 等号の有無を具体的に確認してみる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ a=4のとき1<x<4となるから不適である.\ a=5のとき1<x<5となり,\ 条件を満たす. \\[1zh] (2)\ \ ほぼ(1)と同様だが,\ 等号の有無が問題になる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ a=4のとき1<x\leqq4となり,\ 条件を満たす.\ a=5のとき1<x\leqq5となるから不適である. \\[1zh] (3)\ \ 1\leqq x\leqq aならば1を含むから,\ 範囲に整数1,\ 2,\ 3が含まれていればよい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ a=3のとき1\leqq x\leqq3となり,\ 条件を満たす.\ a=4のとき1\leqq x\leqq4となるから不適である.
を満たす整数がちょうど3個存在するとき,\ 実数$a$の値の範囲を求めよ. ここで,\ $\textcolor{magenta}{(a+3)-(a-3)=6}より,\ a-3<x<a+3は少なくとも5個の整数を含む.$ \\[.2zh] よって,\ 条件を満たすのは以下の2つの場合である.
まずは不等式を解く.\ 瞬殺型の絶対値付き不等式である. a>0のとき\ \zettaiti x<a\ \Longleftrightarrow\ -\,a<x さて,\ a-3<x<a+3は両端に文字を含むので,\ 1<x<aのように3個の整数が決まらない. \\[.2zh] 3個の整数は,\ (1,\ 2,\ 3),\ (2,\ 3,\ 4),\ (3,\ 4,\ 5),\ (4,\ 5,\ 6)\ の4通りが考えられる. \\[.2zh] もちろん,\ 4つの場合の条件をそれぞれ求めてみるのも間違いではないが,\ 少々面倒である. \\[.2zh] 本問では,\ \bm{区間の幅が一定であることに着目}すると候補を絞り込むことができる. \\[.2zh] 幅が6なら例えば1<x<7や1.5<x<7.5となりうるが,\ これらは少なくとも5個の整数を含む. \\[.2zh] 1<x<7のときはx=2\,~\,6の5個,\ 1.5<x<7.5のときはx=2\,~\,7の6個である. \\[.2zh] よって,\ ちょうど3個の整数が(2,\ 3,\ 4)や(3,\ 4,\ 5)のみとなることは有り得ないとわかる. \\[1zh] [1]\ \ a=0のとき-3<x<3となるから不適.\ a=1のとき-2<x<4となり,\ 条件を満たす. \\[.4zh] [2]\ \ a=6のとき3<x<9となり,\ 条件を満たす.\ a=7のとき4<x<10となるから不適. \\[1zh] ちなみに,\ (2,\ 3,\ 4)となる場合の条件を求めようとすると次になる. \\[.2zh] 1\leqq a-3<2\ かつ\ 4<a+3\leqq5\ \Longleftrightarrow\ 4\leqq a<5\ かつ\ 1<a\leqq2\ \Longleftrightarrow\ 実数aは存在しない.を満たす整数がちょうど4個存在するとき,\ 正数$a$の値の範囲を求めよ. \\
 より $-\,a<x-\bunsuu23   整数を$\bunsuu23$から近い順に並べると,\ $\textcolor{magenta}{1,\ 0,\ 2,\ -\,1,\ 3,\ -\,2,\ \cdots\cdots}$である. \\[.2zh] よって,\ $-\,1$を含み,\ 3を含まないような$a$の値の範囲を求めればよい.
\betu\ \ $-\,1$を含む条件は $\textcolor{red}{\zettaiti{-\,1-\bunsuu23}<a} より \bunsuu53<a$ \\[.8zh] \phantom{ (1)}\ \ $3$を含まない条件は $\textcolor{red}{\zettaiti{3-\bunsuu23}\geqq a}$ より $\bunsuu73\geqq a$ \\\\\\
\centerline{{\small $\left[\textcolor{BrickRed}{\begin{array}{l}
再び瞬殺型の絶対値付き不等式である. \\[.2zh] 一見すると整数4個が決まらないように思えるが,\ \bm{区間幅の対称性を考慮}すると決まる. \\[.2zh] \bunsuu23-a<x<\bunsuu23+a\ は,\ \bm{\bunsuu23\ を中心に左右にaの幅をもつ区間}である. \\[.6zh] よって,\ a\,(>0)を大きくしていくと\,\bunsuu23\kinzi0.66\,に近い整数から順に区間内に入ってくる(\maru1\,~\,\maru6). \\[.6zh] 結局,\ 4番目に近い-1を含み,\ かつ5番目に近い3を含まない条件を求めることになる. \\[.2zh] a=\bunsuu53\ のとき-\,1<x<\bunsuu73\ となるから不適.\ a=\bunsuu73\ のとき-\bunsuu53<x<3となり,\ 条件を満たす. \\[1zh] -\,1を含むならば必然的に2も含むから,\ 2<\bunsuu23+a\ は考慮しなくてよい(しても間違いではない). \\[.6zh] 3を含まないならば必然的に-\,2も含まないから,\ -\,2\leqq\bunsuu23-a\ は考慮しなくてよい. \\[1.5zh] ある1つの整数解をもつ条件は,\ 数直線よりも\bm{代入すると成り立つことの利用}が簡潔である(別解). \\[.5zh] x=-\,1を含むならば,\ \zettaiti{x-\bunsuu23}<a\ にx=-\,1を代入すると成り立つはずである. \\[1zh] x=3を含まないならば,\ \zettaiti{x-\bunsuu23}<a\ にx=3を代入すると成り立たないはずである. \\[1zh] 言い換えると,\ \zettaiti{x-\bunsuu23}\geqq a\ にx=3を代入すると成り立つはずである.
bunsuu{2a-5}{3}<x<4a-1$を満たす整数がちょうど3個存在するとき,\ 整数$a$の値を求めよ.
$4a-1$は整数なので,\ 整数がちょうど3個存在する条件は 
aが整数という条件を見落としてはならない.\ aが整数ならば,\ 4a-1も整数である. \\[.2zh] つまり,\ \bm{区間の右端が整数4a-1}で,\ 3個の整数が4a-4,\ 4a-3,\ 4a-2であることがわかる. \\[.2zh] よって,\ 区間の左端\,\bunsuu{2a-5}{3}\,が整数4a-5と整数4a-4の間にあればよいわけである. \\[1.5zh] 4a-5\leqq\bunsuu{2a-5}{3}\ \Longleftrightarrow\ 12a-15\leqq2a-5\ \Longleftrightarrow\ a\leqq1 \\[.8zh] \bunsuu{2a-5}{3}<4a-4\ \Longleftrightarrow\ 2a-5<12a-12\ \Longleftrightarrow\ \bunsuu{7}{10} a=1のとき,\ 問題の不等式は-1<x<3となり,\ 条件を満たす(3個の整数は0,\ 1,\ 2).