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不等号の盲点}} \\[.5zh] 2つの実数$a,\ b$に対し,\ \textcolor{ForestGreen}{$a>b,\ a=b,\ a<b$の\underline{どれか1つのみ}が成立する}(実数の性質). \\[.2zh]   不等式$\bm{\textcolor{blue}{a\geqq b}}$は,\ \textbf{「\textcolor{red}{$\bm{a>b}$\.{ま}\.{た}\.{は}$\bm{a=b}$}」}を意味する($a>b$かつ$a=b$はありえない). \\[.2zh] つまり,\ $a>b$と$a=b$のどちらか一方が成り立てば,\ $a\geqq b$は正しい不等式である. \\[.2zh] よって,\ $1\geqq0$はもちろん($1>0$が成り立つ),\ \textcolor{magenta}{$0\geqq0$も正しい不等式}である. \\[.2zh] $0>0$は成り立たないが,\ $0=0$が成り立つからである. {不等式の性質}}
[2]は,\ 不等式の両辺に\bm{同じ数を足したり引いたりしてもよい}ことを意味する. \\[.2zh] [3]は,\ 不等式の両辺に\bm{同じ正の数を掛けたり割ったりしてもよい}ことを意味する. \\[.2zh] [4]は,\ 不等式の両辺に\bm{同じ負の数を掛けたり割ったりすると不等号の向きが変わる}ことを意味する. \\[1zh] [5]は,\ \bm{2つの不等式の各辺を足し合わせてよい}ことを意味する.\ これは[1]と[2]から導ける. \\[.6zh] \begin{array}{lll}
a<x<bの各辺にyを足すと & a+y<x+y<b+y & (\,[2]を利用) \\[.2zh] c<yの両辺にaを足すと & a+c<a+y & (\,[2]を利用) \\[.2zh] y<dの両辺にbを足すと & b+y<b+d & (\,[2]を利用)
とするとき,\ 次の式の値の範囲を求めよ.$ \\[.5zh] (1)\ \ 不等式の性質を用いて順に範囲を求めていく. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ まず各辺に正の数を掛けることにより,\ 2xと3yの範囲が求まる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 後は各辺を足して2x+3yの範囲を求めればよい.\ このとき,\ 等号を忘れないように注意する. \\[1zh] (2)\ \ -\bunsuu34<\bunsuu34x\leqq\bunsuu32,\ 2<\bunsuu12y\leqq3より,\ -\bunsuu34-2<\bunsuu34x-\bunsuu12y\leqq\bunsuu32-3とする\bm{\textcolor{red}{誤り}}が多い. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ 例えば,\ 3<x<4,\ 1<y<2のとき,\ (x+yの最大)=(xの最大)+(yの最大)=4+2=6. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ しかし, \ (x-yの最大)=(xの最大)-(yの最大)=4-2=2ではない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 正しくは,\ (x-yの最大)=(xの最大)-(yの最小)=4-1=3である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ このようなややこしさを避けるためには,\ x-y=x+(-\,y)のように和と考えるのがよい. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 本問の場合,\ まず\,\bm{\bunsuu34xと-\bunsuu12y\,の範囲を求め,\ 各辺を足し合わせる.} \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ -\bunsuu12y\,の範囲を求めるとき,\ 各辺に負の数を掛けると不等号の向きが変わることに注意する. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ また,\ \bm{各辺を足し合わせた不等式には等号がつかない}ことに注意する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ x\geqq aかつy\geqq bのときx+y\geqq a+bだが,\ x\geqq aかつy>bのときx+y>a+bである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{どちらか一方でも等号がついていない場合,\ x+y=a+bとなることはない}からである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 不等式の性質を用いて示すと以下のようになる. \\[.5zh] \phantom{(1)}\ \  x\geqq aの両辺にyを足すと x+y\geqq a+y \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \  y>bの両辺にaを足すと \,\,a+y>a+b \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \  よって x+y\geqq a+y>a+b より x+y>a+b
2数$x,\ y$の小数第1位を四捨五入するとそれぞれ2,\ 5になるとき,\ $4x-3y$の値の範囲 \\[.2zh] \hspace{.5zw}を求めよ. \\
\\[-.8zh] \hline
\end{tabular} \\\\[.5zh] 小数第1位を四捨五入すると2,\ 5になる2数の範囲は 
xとyの範囲さえ正しく不等式で表現できれば,\ 後は先の問題と同様である. \\[.2zh] 小数第1位を四捨五入して2になるのは1.5からなので,\ 1.5\leqq xについては問題ないだろう. \\[.2zh] 問題は上限であり,\ x\leqq2.4としてしまう\bm{誤り}が多い. \\[.2zh] 「小数第1位を四捨五入」は,\ 「小数第1位までの有限小数」を意味しない. \\[.2zh] 小数第2位以降も続く可能性があり,\ 例えばx=2.4999も小数第1位を四捨五入すると2である. \\[.2zh] 結局,\ 2.5未満であれば条件を満たす.\ つまり,\ x<2.5である.