平方完成a(x-p)²+qの基本手順と意義

{一般形${ax²+bx+c}$を基本形${a(x+p)²+q}$\ に変形する技巧である. 実質的には,\ $x²+2px$を2乗の形に変形できるかが問われる. $x²+2px$は,\ $(x+p)²$を展開すると出てくる. しかし,\ $(x+p)²=x²+2px+p²$であるから,\ $p²$が余分である. よって,\ $p²$を引いて,\ ${x²+2px=(x+p)²-p²$と変形できる. 同様にして,\ ${x²-2px=(x-p)²-p²$と変形できる.\ $(x-p)²+p²$ではない！ 本項目では,\ 平方完成の難度順に問題を並べた. $x²+2px=(x p)²-p²$を実際にどう利用するかを,\ 以下で順に確認してほしい. $x²+6x+9={(x+3)²}$　　 $[\ 因数分解して基本形にできる場合はそれだけで まず,\ {x²+8x\ のみに着目し,\ x²+2px=(x+p)²-p²}を適用する. pは常にxの係数の12になることに注意すると,\ (x+4)²-4²\ と変形できる. 普通,\ 一気に(x+4)²-16と書く.\ これに元からある+15をして完了である. 他の例も示しておく.\ これらの変形を瞬時にできるまでに慣れておかなければ実戦では通用しない. x²-3x\ に着目し,\ x²-2px=(x-p)²-p²\ を適用する. pはxの係数3の12の32である.\ 分数になっただけで本質的にはと同じである. {x²\ の係数が1ではない場合,\ まず\ x²\ の係数をくくり出す.}\ ただし,\ {定数項は最後まで無視する.} よって,\ 2(x²+2x+12)\ のような変形はしない.\ 2(x²+2x)\ となるので,\ {括弧の中の\ x²+2x\ にx²+2px=(x+p)²-p²\ を適用する.} このとき,\ {中括弧を忘れてはいけない.}\ -1にまで係数の2がかかってくるのである. 最後,\ 中括弧をはずして整理すると平方完成が完了する. 途中分数が出てくるだけで本質的にはと同じである. 因数分解できることに気付く人も多いだろう.\ その場合は別解のように変形するのが簡潔である. (2x-5)²はxの係数が1ではないから,\ 基本形a(x-p)²+qとはいえない. よって,\ 2を無理矢理くくり出す必要がある. 分数が鬱陶しいものの,\ 本質的にはと同じである. }]$ さて,\ 平方完成の意義は,\ 「変数を1ヶ所に集める}」}ことにある. 変数を1ヶ所に集めることにより,\ その関数の変化(増加・減少)がとらえやすくなる. つまり,\ 最大値・最小値を求めることが可能になる. 例として,\ $2次関数\ y=x²}+8x}+15\ (-4 x4)\ の最小を考えよう.$ $x²}の最小値は0\ (x=0のとき),8x}の最小値は-32\ (x=-4のとき)$\ である. では,\ $x²+8x+15\ が最小になるのは？　x=0のとき？　x=-4のとき？$ このように,\ 変数が複数箇所にあると,\ 関数全体の変化がつかめないのである. より,\ 平方完成すると\ $x²+8x+15=(x}+4)²-1$\ であった. 変数が1ヶ所}なので,\ それを含む部分の最小がわかれば,\ 全体の最小がわかる. 常に$(2乗)0\ より,\ (x+4)²}\ の最小値は,\ x=-4\ のときの0である.$ よって,\ ${(x+4)²-1\ の最小値は-1}\ である(x=-4のとき).$ $x²+8x+15$の最小を求める問題で,\ $x²+8x+15=(x+3)(x+5)$とする人が少なくない. しかし,\ 変数の散らばりが解消されず,\ この変形は意味がない.\ 当然,\ 最小も不明である 普段の学習の中で式変形の目的を意識していない場合,\ このようなミスを犯す. 常に,\ 何故今この変形をすべきなのか,\ 何故この変形で解けるのかを考えながら学習しよう. もし$x²+8x+15=0$を解く問題ならば,\ $(x+3)(x+5)=0$と変形しなければならない. $AB=0A=0\ or}\ B=0$を利用するためである. 変数を集めることを目的とする変形の代表として,\ 他に次のようなものがある(数II). ${x}{x²+1}={1}{x+1x}$　 $[\ 分数関数：分母分子をxで割り,\ 変数を分母に集める\ }]$} $sinθ+3cosθ=2sin(θ+{π}{3})$　　 $[\ 三角関数の合成で変数\ θ\ を集める\ }]$}