当項目は上級者向けです。
屈折率 n（n＞1）の透明な物質からなる両凸レンズが空気中に置かれている。
光軸上の物体側の球面の曲率半径を R1、像側の球面の曲率半径を R2 とする。
ただし、R1、R2 はいずれも正の値で表すものとする。
レンズの厚さは R1、R2 や物体距離・像距離に比べて十分小さく、近軸光線のみを考える。
また、sinθ ≒ tanθ ≒ θ の近似が成り立つものとする。
光軸上の物体Pをレンズから距離 a の位置に置く。Pから出た光線が、光軸から高さ h の点Aで第1球面に入射するものとし、第1球面の曲率中心をC1とする。
このとき、AC1は点Aにおける第1球面の法線である。また、近軸光線では h が十分小さく、点Aから光軸に下ろした垂線の足は第1球面の頂点と一致すると近似してよい。
第1球面だけで屈折した光線が光軸と交わる点をQとし、第1球面からQまでの距離を x とする。
(1) 入射光線が光軸となす微小角を α、入射点における法線が光軸となす微小角を β、屈折後の光線が光軸となす微小角を γ とする。
(i) α、β、γ を a、R1、x、h を用いて表せ。
(ii) 第1球面での入射角 i1 と屈折角 r1 を α、β、γ を用いて表せ。
(iii) 屈折の法則と(i)、(ii)の結果を用いて、1/a＋n/x＝(n−1)/R1 が成り立つことを示せ。
(2) 次に、この光線が第2球面で再び屈折し、レンズから距離 b の位置に像P’を作る。
第2球面の曲率中心をC2、これへの入射点をBとし、BC2を点Bにおける法線とする。
第2球面における法線が光軸となす微小角を δ、屈折後の光線が光軸となす微小角を ε とする。(1)と同様の近似により、1/b−n/x＝(n−1)/R2 が成り立つことを示せ。
レンズの厚さは十分小さく、第2球面での入射位置の光軸からの高さも h と近似する。
(3) (1)、(2)から x を消去し、1/a＋1/b＝(n−1)(1/R1＋1/R2) が成り立つことを示せ。
(4) このレンズの焦点距離を f とする。無限遠方から光軸に平行に入射する光を考えることにより、f が 1/f＝(n−1)(1/R1＋1/R2) を満たすことを示せ。
【解答】
(1)
(i) PAを斜辺とする直角三角形に着目すると、
tanα＝h/a
より、
α ≒ h/a
AC1を斜辺とする直角三角形に着目すると、
sinβ＝h/R1
より、
β ≒ h/R1
AQを斜辺とする直角三角形に着目すると、
tanγ＝h/x
より、
γ ≒ h/x
(ii) 入射角 i1 は入射光線と法線のなす角であるから、
i1＝α＋β
屈折角 r1 は屈折光線と法線のなす角であるから、
r1＝β−γ
(iii) 空気から屈折率 n のレンズへの屈折の法則より、
sin i1＝n sin r1
近似 sinθ ≒ θ より、
i1 ≒ nr1
(ii)より、
α＋β＝n(β−γ)
よって、
α＋nγ＝(n−1)β
(i)より、
h/a＋nh/x＝(n−1)h/R1
よって、
1/a＋n/x＝(n−1)/R1
(2) BP’を斜辺とする直角三角形に着目すると、
tanε＝h/b
より、
ε ≒ h/b
BC2を斜辺とする直角三角形に着目すると、
sinδ＝h/R2
より、
δ ≒ h/R2
BQを斜辺とする直角三角形に着目すると、
tanγ＝h/x
より、
γ ≒ h/x
入射角 i2 は入射光線と法線のなす角であるから、
i2＝γ＋δ
屈折角 r2 は屈折光線と法線のなす角であるから、
r2＝δ＋ε
屈折率 n のレンズから空気への屈折の法則より、
n sin i2＝sin r2
近似 sinθ ≒ θ より、
ni2 ≒ r2
よって、
n(γ＋δ)＝δ＋ε
ゆえに、
ε−nγ＝(n−1)δ
ε ≒ h/b、δ ≒ h/R2、γ ≒ h/x より、
h/b−nh/x＝(n−1)h/R2
よって、
1/b−n/x＝(n−1)/R2
(3) (1)、(2)の結果を辺々加えると、
(1/a＋n/x)＋(1/b−n/x)＝(n−1)/R1＋(n−1)/R2
よって、
1/a＋1/b＝(n−1)(1/R1＋1/R2)
(4) 無限遠方から光軸に平行に光が入射するとき、a→∞ であるから、
1/a→0
このとき像は焦点にできるから b＝f であり、(3)より、
1/f＝(n−1)(1/R1＋1/R2)
