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三角比の相互関係\ \bm{1+\tan^2\theta=\bunsuu{1}{\cos^2\theta}}\ を利用すると,\ 媒介変数\,\theta\,を消去できる. \\\\
(2)\ \ 両辺を2乗してからtを消去する.\ 常に\ruizyoukon{○}\geqq0より,\ xとyの範囲が生じることにも注意する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 双曲線\,\bunsuu{x^2}{a^2}-\bunsuu{y^2}{b^2}=1の頂点は(\pm\,a,\ 0),\ 漸近線は,\ y=\pm\bunsuu bax\ である. \\[.8zh] の媒介変数表示が表す曲線を答えよ
(1)\ \ 恒等式\ \bm{(a+b)^2-(a-b)^2=4ab}\ を利用すると楽に媒介変数tを消去できる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ ただし,\ 実数tの存在の確認が難しいので,\ 論理的にやや曖昧な解法である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 別解のように,\ tと\,\bunsuu1t\,の連立方程式とみなす解法ならば,\ 実数tの存在を確認できる. \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \ 2式の和と差をとるとt=,\ \bunsuu1t=\,にでき,\ 両辺を掛けることで媒介変数tを消去できる. \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \ また,\ \bunsuu1t\,があることを考慮すると,\ 分母t\neqq0にならない限り,\ 実数tが存在する. \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \ x^2-y^2=-\,4ならば自動的にx+y\neqq0を満たす.\ なお,\ x+y=0は双曲線の漸近線である. \\[1zh] (2)\ \ 3^{-t}=\bunsuu{1}{3^t}\ であることを考慮すると,\ ほぼ(1)のtを3^t\,に置き換えただけの問題である. \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ 基本解法も同じなのだが,\ 常に指数関数\bm{3^t>0}であることに注意を要する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ つまり,\ (1)にt>0という条件が付属した問題と考えることができる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ その影響でxに範囲が生じることに気付かなければならない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ a^t+a^{-t}\,の形には,\ \bm{相加平均・相乗平均の関係}の適用が有効なのであった. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \  \bm{a>0,\ b>0のとき a+b\geqq2\ruizyoukon{ab} (a=bのとき等号成立)} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 単にx\geqq4というだけではx\geqq5である可能性も残る. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ そこで,\ 等号x=4を成立させるような実数tが存在するかを確認する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ これでもまだ,\ yにも範囲がないか,\ 4\leqq x\leqq5のように上限はないかなど,\ 曖昧な部分が残る. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ やはり,\ (1)の別解と同様に解く方が論理性の高い解法になる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 3^t=\bunsuu{x+y-1}{2}>0,\ \ 3^{-t}=\bunsuu{x-y-3}{2}>0より,\,y>-\,x+1,\,y<x-3ならばtが存在する. \\[.5zh] \phantom{(1)}\ \ これは,\ 2つの漸近線で分けられた4つの領域の右の部分である.
{双曲線\ \ x^2-\bunsuu{y^2}{4}=1  ただし,\ 点(-\,1,\ 0)を除く.}
\bm{tとt^2\,の連立方程式とみて消去する.} \\[.2zh] x=-\,1とすると0t^2=-\,2となり矛盾するから,\ x\neqq-\,1である. \\[.2zh] 他方の式のt^2\,に代入した後さらにt=の式に変形し,\ 再びt^2=\bunsuu{x-1}{x+1}\,に代入してtを消去できる