2次曲線(放物線・円・楕円・双曲線)の媒介変数表示

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「e」は微分分野で学習しますので、初めて見る学生のために軽く説明しておきます。

eは「自然対数の底」と呼ばれる定数で、e≒2.718・・・です。
通常、対数では底eが省略されます。つまり、logxはlogexを意味しています。

曲線$C$上の点が1つの変数$t$の関数として${x=f(t),\ y=g(t)$と表されるとする. これを曲線$C$の媒介変数表示といい,\ 変数$t$を媒介変数(パラメータ)という. }{2次曲線の代表的な媒介変数表示}放物線 }{楕円  媒介変数表示の仕方は1通りではない. 例えば,\ x=t,\ y=t²\ もx=2^t,\ y=4^t\ (=(2^t)²)もy=x²の媒介変数表示である. ただし,\ 無理矢理媒介変数表示にしたところで,\ わかりづらくなるだけで意味がない. よって,\ 試験で出題されるのは,\ 媒介変数表示が重要な意味をもつ曲線がほとんどである. 特に,\ 2次曲線の媒介変数表示については代表的なものを知っておく必要がある. y²=4pxの媒介変数表示は,\ yが根号なしで表せるようにxをtで表している. つまり,\ x=pt²とするとy²=4pt²=(2pt)²\ より,\ y=2ptと簡潔に表せるわけである. 円・楕円・双曲線の媒介変数表示は特に重要である. 三角比の相互関係\ cos²θ+sin²θ=1の両辺にr²\ を掛けると {(rcosθ)²+(rsinθ)²=r²} これと円の式x²+y²=r²\ を比較すると,\ x,\ yをのように表せることがわかる. 元はといえば,\ 円の媒介変数表示自体が三角比の定義であった. また,\ 一般に{(1-t²)²+(2t)²=(1+t²)²}\ が成り立つ.\ 両辺を計算すると容易に確認できる. 両辺に\ ({r}{1+t²})²\ を掛けると {(r{1-t²}{1+t²})²+(r{2t}{1+t²})²=r²} これと円の式x²+y²=r²\ を比較すると,\ x,\ yをのように表せることもわかる. 図形的にこの媒介変数表示を導く方法もあるが,\ これは別の項目で取り扱う. 楕円の媒介変数表示は,\ cos²θ+sin²θ=1と楕円の式\ {x²}{a²}+{y²}{b²}=1\ を比較して得られる. 半径aと半径bの円を描くと図形的な意味合いが見えてくるので,\ 確認しておいてほしい. は,\ ({1-t²}{1+t²})²+({2t}{1+t²})²=1\ と楕円の式を比較して得られる. 双曲線の媒介変数表示は4通りを抑えておきたい. は,\ 三角比の相互関係1}{cos²θ}-tan²θ=1}(1+tan²θ={1}{cos²θ})と比較して得られる. 一般に{({e^t+e^{-t{2})²-({e^t-e^{-t{2})²=1}\ が成り立つ.\ 左辺を計算すると容易に確認できる. これと双曲線の式を比較するとが得られる.\ [3]はにおいてe^t→tと置き換えただけである. 大学では,\ 双曲線関数\ cosh t={e^t+e^{-t{2},\ sinh t={e^t-e^{-t{2}\ を学習する. 三角関数と似た性質をもっていることが知られており,\ その1つがcosh²t-sinh²t=1である. 一般に(1+t²)²-(2t)²=(1-t²)²,\ つまり{({1+t²}{1-t²})²-({2t}{1-t²})²=1}\ (t1)である. これと双曲線の式を比較すると[4]が得られる.\ の図形的な意味合いも確認しておこう. 円x²+y²=r²上の点(x₁,\ y₁)における接線の方程式の公式は,\ x₁x+y₁y=r²\ であった. 半径aの円周上の点{A}(acosθ,\ asinθ)における接線の方程式は (acosθ)x+(asinθ)y=a² x軸との交点がx={1}{cosθ}\ となるから,\ {P}は{H}とx座標が等しい. (b,\ 0)を通りx軸と垂直な直線と動径との交点のy座標がbtanθ\ より,\ {PはB}とy座標が等しい. なお,\ {x²}{a²}-{y²}{b²}=-1の場合,\ tan²θ-{1}{cos²θ}=-1と比較して\ x=atanθ,\ y={b}{cosθ}\ となる.
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