直線群による円と双曲線の媒介変数表示

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(2)のx=で分母が1-になっているところがありますが1+の誤りですm(_ _)m

直線$y=t(x+1)$との共有点を考えることにより,\ 円$x²+y²=1\ (x-1)$を媒介 変数$t$を用いて表せ. $t=tan{θ}{2}\ (-π<θ<π)$とするとき,\ の$x,\ y$を$θ$で表せ. 直線群による媒介変数表示 tの値によらずx=-1のときy=0より,\ y=t(x+1)は{定点(-1,\ 0)を通る直線}である. よって,\ この直線と円x²+y²=1は,\ {A}(-1,\ 0)と他の1点{P}で交わる. 共有点の座標がtの式として求まり,\ これで円が媒介変数tで表されたことになる. 連立するとxの2次方程式となるが,\ xで整理する必要はない. x=-1を解にもつはずであるからx+1をくくり出せるはずであり,\ それを見越して変形する. 常に1+t²>0より,\ 1+t²で割ることができる. 公式\ tanα={sinα}{cosα}\ を適用した後,\ 分母分子に\ cos²{θ}{2}\ を掛ける. 分母は\ cos²α+sin²α=1\ の形,\ 分子は2倍角の公式\ cos2α=cos²α-sin²α\ を逆に用いる. yは,\ 2倍角の公式\ sin2α=2sinαcosα\ を逆に用いる. こうして,\ (x,\ y)=(cosθ,\ sinθ)\ という最も代表的な媒介変数表示が得られる. 図において,\ ∠{POH}=θ\ のとき,\ ∠{PAH}={θ}{2}\ である(中心角は円周角の2倍). 一般に,\ (直線の傾き)=(x軸とのなす角のtan)であるから,\ t=tan{θ}{2}\ となるわけである. 直線$y=-x+t$との共有点を考えることにより,\ 双曲線$x²-y²=1$を媒介変数$t$を 用いて表せ. $x²-y²=1$に$y=-x+t$を代入して整理すると $2tx=t²+1}$ $t=0$のとすると$0=1$となり矛盾するから  直線が漸近線と同じ傾きであるとき,\ 直線と双曲線はただ1点で交わる. よって,\ そのような直線群と双曲線の共有点を考えることで,\ 双曲線の媒介変数表示が得られる. 途中,\ t0を確認した上でtで割ること. x={t²+1}{2t}\ と答えてもよいが,\ 双曲線の媒介変数表示としてよくある\ x=12(t+1t)\ の形にした. t=0のときの直線y=-xは,\ 漸近線と一致するから交点をもたない.\ t0の図形的意味である.
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