アルキメデスの螺旋の極方程式 r=θ

極方程式$r=θ\ (0θ2π)$で表される曲線の概形を描け. アルキメデスの螺旋の極方程式 極方程式\ で表される曲線をアルキメデスの螺旋という. 直交座標や媒介変数表示で表された曲線は,\ 数III}の微分法でかなり正確に図示する方法を学ぶ. よって,\ 極方程式で表された曲線も,\ 直交座標や媒介変数表示に変換すると正確に図示できる. しかし,\ 極方程式から容易に変換できる保証はなく,\ その場合極方程式のまま図示する必要が生じる. 極方程式で表すと式が美しく簡潔になる曲線がいくつかあるので,\ 受験ではそれを知っていればよい. その代表がアルキメデスの螺旋である. 極方程式のまま曲線を描くには,\ {簡単な点をとりまくって滑らかに結ぶ}しかない. つまり,\ θ=30°,\ 45°などのときの点の極座標を\ 0θ2π\ の範囲で求める.\ 表を作るとよい. それを極座標平面(極中心の円と極を通る直線からなる平面)にプロットしていく. 例えば,\ (r,\ θ)=({π}{6},\ {π}{6})より,\ 直線θ={π}{6}上にr={π}{6}12\ となる点を取ればよい. 上図はPC}で描いた正確な図だが,\ 概形ならばπ3と考えて点を取っていくくらいでよいだろう. さて,\ 実際の試験においてこのように丁寧に表を作って図示する時間はおそらくない. よって,\ 代表的な極方程式で表される曲線については,\ {概形を覚えておく}ことが有効である. θを2πまでに限定しない場合,\ r=aθは下図のような曲線になる. 様々な螺旋がある中で,\ {間隔が一定}であることがアルキメデスの螺旋の特徴である.
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