リマソン(パスカルの蝸牛形)の極方程式

極方程式$r=1+2cosθ(0θ2π)$で表される曲線の概形を描け. リマソンの極方程式 極方程式 ${r=a+bcosθ$}で表される曲線をリマソン(蝸牛形)という. 特に$a=b$のとき,\ カージオイド$r=a(1+cosθ)$となる. よって,\ $r=f(θ)$は始線に関して対称}である. リマソンは極方程式の代表なので,\ 概形を覚えておくべきである.\ 蝸牛はカタツムリのことである. ただし,\ カージオイドに比べると出題率はかなり下がる. 対称性を考慮すると,\ 0θπのみ考慮すればよいことがわかる. θ=0,\ πのとき,\ それぞれr=a+bcos0=a+b,r=a+bcosπ=a-b\ である. 23πθπのときr=1+2cosθ0である. 例えば,\ (1-2,\ 34π)=(2-1,\ 74π)である. よって,\ 0θ23πには外側の曲線の上半分,\ 23πθπに内側の曲線の下半分が対応する. 同様に,\ πθ43πには内側の曲線の上半分,\ 43πθ2πには外側の曲線の下半分が対応する. リマソンの極方程式については,\ $r=2cosθ$を利用して図示する方法も重要である. 極方程式$r=2cosθ}$は,\ 中心$(1,\ 0)$,\ 半径$1$の円}を表す. これを元にして$r=1+2cosθ$が表す曲線を図示できる. 要は,\ ${r=2cosθ}$上の点に対し,\ 極からの距離が${+1}$になる点を結んでできる曲線である. 一般に,\ 極方程式r=2acos(θ-α)は,\ 中心(a,\ α),\ 半径aの曲線を表すのであった. r²=2rcosθ\ よりx²+y²=2x,\ つまり(x-1)²+y²=1\ と考えてもよい. 0θ{π}{2}\ のときのr=1+2cosθは,\ 単純にrを+1した点をとればよいだけである. 厄介なのは,\ {π}{2}θπ\ の範囲である.\ このとき,\ r=2cosθにおいてr0となる. r=2cosθ\ ({π}{2}θπ)の表を作成すると (-1,\ 23π)=(1,\ 53π)など考慮すると,\ これは円r=2cosθ\ の下半分を表す. 同様に考えると,\ πθ32πのとき円の上半分,\ 32πθ2π\ のとき円の下半分を表す. つまり,\ r=cosθ\ において0θ2πのとき,\ 点(r,\ θ)は円を2周するわけである. 0θπが1周目,\ πθ2πが2周目である. そして,\ {1周目の円全体がリマソンの外側上半分と内側下半分に対応する}ことを理解する必要がある. r=1+2cosθ\ ({π}{2}θπ)の表はのときの点(1,\ 53π)に対応するr=1+2cosθの点を考えるとする. このとき,\ 点(1,\ 53π)をθ=23π方向(左上)に+1する必要があり,\ それが(0,\ 23π)である. θ=53π方向に+1するのではないことに注意してほしい. 点(1,\ 53π)をθ=53π方向(右下)に+1した点は,\ r=2cosθ\ (θ=53π)に対応する点である.
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