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x}$の値を定めると$\bm{y}$の値が\underline{ただ1つ}定まる}}とき,\ $\bm{\textcolor{blue}{yはxの関数である}}$という. \\[.2zh] 関数を意味するfunctionのfを用いて,\ $\bm{\textcolor{blue}{y=f(x)}}$と表すことが多い. \\[.2zh] 関数$y=f(x)$において,\ \textbf{\textcolor{red}{$\bm{x=a}$のときの$\bm{y}$の値}}を$\bm{\textcolor{blue}{f(a)}}$と表す. 座標平面{平面を直交する数直線で4つの象限に分けたもの.}}\ 原点Oはoriginに由来する. \\[.2zh] 右上から反時計回りに第1象限,\ 第2象限,\ 第3象限,\ 第4象限という. \\[.2zh] なお,\ \座標軸上はどの象限でもない.}} \\\\
第1象限}}}第2象限}}}{第3象限}}}第4象限}}}
\end{pszahyou}} \\\\
\textbf{\textcolor{blue}{定義域}}  関数$y=f(x)$において,\ \textbf{\textcolor{red}{変数$\bm{x}$がとりうる値の範囲.}} \\[.5zh] \textbf{\textcolor{blue}{値域}}   $x$が定義域内の全ての値をとるとき,\ \textbf{\textcolor{red}{$\bm{f(x)}$がとりうる値の範囲.}} \\\\\\
\centerline{{\small $\left[\textcolor{BrickRed}{\begin{array}{l}
y=x^2\ は,\ xの値を定めるとyの値が\underline{ただ1つ}定まるから関数である(正確には一価関数という). \\[.2zh] y^2=x\ は,\ 例えばx=1のときy=\pm\,1となってyの値がただ1つに定まらないから関数ではない. \\[.2zh] これも広い意味では関数であるが(多価関数という),\ 単に関数といえば一価関数のことを指す. \\[1zh] 定義域(xのとりうる値の範囲)は,\ y=f(x)\ (a\leqq x\leqq b)\ のように表す. \\[.2zh] 定義域が明示されていない場合,\ \bm{f(x)が意味をもつ全ての範囲が定義域}となる. \\[.2zh] 例えば,\ y=\bunsuu1x\ の定義域は\bm{x\neqq0}\ (0以外の全ての実数),\ \ y=\ruizyoukon x\ の定義域は\bm{x\geqq0}である.
要はxに代入するだけである.\ 代入するときは括弧を付け忘れないこと.\ その後,\ 展開して整理する. \\[.2zh] f(x)=2x^2-4x-3より,\ f(f(x))=f(2x^2-4x-3)\ である. \\[.2zh] f(2x^2-4x-3)は,\ f(x)のxに2x^2-4x-3を代入したものである. \\[.2zh] このように,\ f(x)のxにxの式を代入してできた関数を\bm{合成関数}という. \\[.2zh] 合成関数の詳細は数\text{I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}I}の学習内容だが,\ 実質的には数\text{I}でも普通に登場する.
次の関数の値域を求めよ.\ また,\ 最大値・最小値があれば求めよ.
とにかく,\ \bm{定義域の両端が値域の両端になるとは限らない}ことに注意する. \\[.2zh] 単純に定義域の両端を代入するのではなく,\ \bm{グラフの形をイメージ}した上で解答する. \\[.2zh] また,\ 等号を含むか否かにも注意が必要である. \\[1zh] (1)\ \ y=-\,2x+3は減少関数なので,\ 定義域の左端x=-\,1でyが最大の5をとる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ -1\leqq x<2にそのまま対応させて5\leqq y<-\,1と答えないように注意する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ また,\ x=2は定義域に含まれないから,\ 最小値は存在しない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 1.9,\ 1.99,\ 1.999,\ \cdots\ のようにxは2に限りなく近づけるが,\ x=2になることはできない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ このときyは-0.9,\ -\,0.99,\ \cdots\ のように限りなく小さくはなるが,\ y=-\,1にはなれない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ 「最小値なし」となるのである. \\[1zh] (2)\ \ グラフの形を考慮すると最小は0である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ -2\leqq x\leqq1だからといって,\ 4\leqq y\leqq1や1\leqq y\leqq4としないように注意する. \\[1zh] (3)\ \ 反比例のグラフであり,\ これも減少関数である.