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y=f(x)}$を$\bm{x軸,\ y軸,\ 原点に関して対称移動}した関数\bm{y=g(x)}$}}を求めよう. \\[1zh] グラフを含めた座標平面上の全ての図形は,\ 数学的には\textbf{\textcolor{red}{条件を満たす点の集合}}である. \\[.2zh] よって,\ グラフの移動の本質は点の移動である. \\[.2zh] そして,\ \textbf{\textcolor{ForestGreen}{どのような条件を満たすべきかを求めれば,\ それが求める関数である.}} \\\\
式がわかっているのは$y=f(x)$だけなので,\ 平行移動の場合と同じく\textbf{\textcolor{Purple}{逆に考える}}. \\[.2zh] つまり,\ \textbf{\textcolor{red}{$\bm{y=g(x)}$上の点を逆に対称移動した点が関数$\bm{y=f(x)}$上にある条件を立式する.}}
対称移動後の関数$y=g(x)$上の点$(x,\ y)$を$\begin{cases}
\textcolor{ForestGreen}{逆にx軸対称移動}すると\textcolor{red}{(x,\ -\,y)} \\[.2zh] \textcolor{ForestGreen}{逆にy軸対称移動}すると\textcolor{red}{(-\,x,\ y)} \\[.2zh] \textcolor{ForestGreen}{逆に原点対称移動}すると\textcolor{red}{(-\,x,\ -\,y)}
\end{cases}$\hspace{-1zw}に移る. \\[1zh] これらが$y=f(x)$上に存在するから,\ 代入して成り立たなければならない. \\[.5zh] つまり,\ $\begin{cases}
\bm{\textcolor{blue}{x軸対称}} \bm{\textcolor{red}{-\,y=f(x)}} & (\bm{\textcolor{cyan}{y}}\ →\ \bm{\textcolor{cyan}{-\,y}}\ と置換) \\[.2zh] \bm{\textcolor{blue}{y軸対称}} \bm{\textcolor{red}{y=f(-\,x)}} & (\bm{\textcolor{magenta}{x}}\ →\ \bm{\textcolor{magenta}{-\,x}}\ と置換) \\[.2zh] \bm{\textcolor{blue}{原点対称}} \bm{\textcolor{red}{-\,y=f(-\,x)}} & (\bm{\textcolor{magenta}{x},\ \textcolor{cyan}{y}}\ →\ \bm{\textcolor{magenta}{-\,x},\ \textcolor{cyan}{-\,y}}\ と置換)
\end{cases}$が成立する. 放物線\ y=3x^2+5x-1\ をx軸,\ y軸,\ 原点のそれぞれに関して対称移動した$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ $放物線の方程式を求めよ.$ \\\\
\hspace{.5zw}(2)\ \ $ある放物線をx軸方向に-2,\ y軸方向に3平行移動した後,\ 原点に関して対称$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ $移動すると,\ 放物線\ y=-\,2x^2+4x+1\ になった.\ 元の放物線の方程式を求めよ.$ \\
x軸対称ならyを-yに,\ y軸対称ならxを-xに,\ 原点対称ならx,\ yを-x,\ -\,yに置換する. \\[1zh] 2次関数なので頂点の移動で求めることもできるが,\ 面倒なだけでメリットはない. \\[.2zh] \bm{x軸対称ならy座標,\ y軸対称ならx座標,\ 原点対称ならx座標とy座標の正負が逆になる.} \\[.2zh] 特に注意すべきは,\ \bm{x軸対称移動と原点対称移動では2次の係数の正負も逆になる}ことである. \\[.2zh] 対称移動によって\bm{上に凸と下に凸が入れ替わる}からである.
{原点に関して対称移動}すると${x軸方向に2},\ \textcolor{magenta}{y軸方向に-3}平行移動すると$ \\[.2zh] 原点に関して対称移動}すると,\ 頂点は$(-\,1,\ -\,3)$となる. \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ さらに,\ $\textcolor{cyan}{x軸方向に2},\ \textcolor{magenta}{y軸方向に-3}平行移動すると$,\ 頂点はx軸方向に-2},\ \textcolor{magenta}{y軸方向に3}平行移動すると$ 原点に関して対称移動}すると 係数比較すると
(元の放物線)\ →\ (x軸方向に-2,\ y軸方向に3平行移動)\ →\ (原点対称)\ →\ y=-\,2x^2+4x+1 \\[.2zh] 与えられているのは移動後の式なので,\ 次のように逆の移動を考えるのが賢明である. \\[.2zh] y=-\,2x^2+4x+1\ →\ (原点対称)\ →\ (x軸方向に2,\ y軸方向に-3平行移動)\ →\ (元の放物線) \\[.2zh] (x,\ y)=(-\,2,\ 3)平行移動の逆は,\ (x,\ y)=(2,\ -\,3)平行移動であることに注意する. \\[.2zh] x軸方向にp,\ y軸方向にq平行移動するときは,\ x\,→\,x-p,\ y\,→\,y-q\ 平行移動するのであった. \\[1zh] 頂点の移動を考えたのが別解1である.\ 逆に考える点は同じである. \\[.2zh] 原点に関する対称移動を含むので,\ \bm{2次の係数の正負が変わる}ことに注意する. \\[1zh] 元の放物線を文字でおき,\ 順に移動させる別解2も一応示した.
放物線\ y=2x^2-4x+3\ を直線x=-\,1,\ 点(3,\ -\,1)のそれぞれに関して対称移動した$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$放物線の方程式を求めよ.
$y=2x^2-4x+3=2(x-1)^2+1\ の頂点は (1,\ 1)$ \\\\
$点(1,\ 1)を直線x=-\,1に関して対称移動した点の座標を(a,\ 1)とすると$ \\[.2zh] $x座標について\ \textcolor{magenta}{\bunsuu{a+1}{2}=-\,1}\ より a=-\,3$    $\therefore\ \ \bm{y=2(x+3)^2+1}$ \\\\
$点(1,\ 1)を点(3,\ -\,1)$に関して対称移動した点の座標を$(a,\ b)$とすると \\[.2zh] $x座標について\ \textcolor{magenta}{\bunsuu{a+1}{2}=3},\ \ y座標について\ \textcolor{magenta}{\bunsuu{b+1}{2}=-\,1}$  {\small [ $\textcolor{BrickRed}{x座標とy座標別々に}$ ]}
x軸,\ y軸以外の直線,\ 原点以外の点に関する対称移動を一般的に扱うのはやや難しい. \\[.2zh] 2次関数のみに通用する解法ならばほぼ数\text{I}の範囲内で理解できるので,\ ここで取り上げた. \\[1zh] \bm{頂点の移動を考え,\ 点の対称移動に帰着させる}のである. \\[.2zh] このとき,\ \bm{中点は足して2で割ると求まる}ことを利用する(詳細は数\text{I\hspace{-.1em}I}で学習). \\[.2zh] 前半は,\,移動前の点のx座標と移動後の点のx座標の中点が-1であることから移動後の点を求めた. \\[.2zh] 後半は,\,移動前の点と移動後の点の中点が(3,\ -\,1)であることから移動後の点を求めた. \\[.2zh] 点に関する対称移動では,\ \bm{2次の係数の正負が変わる}ことに注意する.