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$y=ax^2\ のグラフは,\ 中学校で学んだ原点を頂点とする放物線である.$ \\[.2zh] $a>0$のとき下に凸,\ $a<0$のとき上に凸の放物線になるのであった. \\[1zh]  さて,\ $y=ax^2$において,\ $\bm{\textcolor{cyan}{x\ →\ x-p,\ y\ →\ y-q}}$\ という置換を行う. \\[.2zh]  $\textcolor{cyan}{y-q}=a(\textcolor{cyan}{x-p})^2$となり,\ 整理すると$\bm{\textcolor{red}{y=a(x-p)^2+q}}$となる. \\[.2zh]  この置換は,\ 図形的には$\bm{\textcolor{red}{x軸方向にp,\ y軸方向にq平行移動}}$したことになる. \\[.2zh]  後に詳しく学習するので,\ ここではそういうものだと認めて欲しい. \\[.2zh]  平行移動により,\ $\bm{\textcolor{cyan}{頂点は原点から点(p,\ q)に移動する.}}$ \\[.2zh]  結局,\ $\bm{\textcolor{red}{y=a(x-p)^2+q\ に変形して頂点(p,\ q)を求めると,\ グラフが描ける.}}$ \\\\  \textbf{\textcolor{magenta}{頂点と他の1点が定まれば,\ 2次関数が一意に定まる.}} \\[.2zh]  よって,\ 2次関数のグラフを描くとき,\ $\bm{\textcolor{red}{頂点}}$と$\bm{\textcolor[named]{ForestGreen}{y軸との交点}}$のみとれば十分である. \\\\\\\\  (1)\ \ $y=2x^2+4x-1=2(x^2+2x)-1$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $\phantom{y}=2\{(x+1)^2-1\}-1=\textcolor{red}{2(x+1)^2-3}$ \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ $\therefore\ \ \bm{軸:直線\ x=-\,1  頂点:点\centerline{{\small 一見して,\ (2次の係数)=2>0より,\ 下に凸のグラフだという認識をもつ必要がある. \\[.2zh] 次に,\ \bm{平方完成して基本形a(x-p)^2+qに変形する}と,\ 頂点(p,\ q)がわかる. \\[.2zh] y軸との交点はx=0のときなので,\ 元の式y=2x^2+4x-1の定数項を見てすぐに-1とわかる. \\[.2zh] 平方完成後の式2(x+1)^2-3にx=0を代入して求める人がいるが,\ 無駄な計算である. \\[.2zh] 数学的には頂点とy軸との交点で十分だが,\ y軸との交点の軸に関する対称点もとるとよい. \\[.2zh] 本問の場合は(-\,2,\ -\,1)である.
(2次の係数)=-\,1<0\ より,\ \bm{上に凸}のグラフである. \\[.2zh] (1)と同様,\ 平方完成して頂点を求め,\ y軸との交点もとってから図示する.
y=ax^2+bx\ の平方完成と混同し,\ y=2\hspace{-.2zw}\left(x^2-\bunsuu12\right)などと変形し出す人が多いが,\ 意味がない. \\[.8zh] y=2x^2-1は,\ すでに基本形y=a(x-p)^2+qだからである. \\[.2zh] つまり,\ y=2(x-0)^2-1\ とみなせるから,\ 頂点(0,\ -\,1)である. \\[.2zh] y=2x^2\ のグラフをy方向に-1平行移動したものと考えるのがわかりやすいだろう. \\[.2zh] 頂点だけでは一意に定まらないから,\ 他に適当な点を少なくとも1つとる. \\[.2zh] x軸との交点2x^2-1=0\ →\ x^2=\bunsuu12\ →\ x=\pm\bunsuu{1}{\ruizyoukon2}\ でもよいが,\ 簡単な(\pm\,1,\ 1)をとった.
2次関数は頂点と他の1点で一意に定まるが,\ \bm{異なる3点でも一意に定まる.} \\[.2zh] よって,\ 容易にわかる3点をとって図示してもよい.\ 問題によっては頂点よりも重要である. \\[.2zh] 本問のように\bm{因数分解されている(できる)場合,\ y=0のときのxの値を求める}とよい. \\[.2zh] これは\bm{x軸との交点}である.\ 後はy軸との交点(x=0のときのyの値)を求めると3点がとれる. \\[.2zh] x=0のときy=(0+1)(2-0)=2である.\ (-\,1,\ 0),\ (2,\ 0),\ (0,\ 2)の3点をとって図示する. \\[.2zh] 本問は軸と頂点も求める必要がある.\ \bm{軸がx軸との交点の中点を通る}ことを利用すると簡潔である. \\[.2zh] \bm{2つの交点を足して2で割れば中点が求まる.}\ これを元の式に代入して頂点のy座標も求まる. \\[.2zh] 一旦展開して平方完成することもできるが,\ 面倒なのは明らかである. \\[.2zh]