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関数\ f(x)=x^2+1,\ g(x)=-\,x^2+4x+a\ について,\ 次の条件を満たすような定数a$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$の値の範囲を求めよ.$ \\[.8zh] \hspace{.5zw} $(1)\ \ -1\leqq x\leqq1\ のすべての実数xに対して,\ f(x)<g(x)$ \\[.8zh] \hspace{.5zw} $(2)\ \ -1\leqq x\leqq1\ のある実数xに対して,\ f(x)<g(x)$ \\[.8zh] \hspace{.5zw} $(3)\ \ -1\leqq x\leqq1\ のすべての実数の組x_1,\ x_2\ に対して,\ f(x_1)<g(x_2)$ \\[.8zh] \hspace{.5zw} $(4)\ \ -1\leqq x\leqq1\ のある実数の組x_1,\ x_2\ に対して,\ f(x_1)<g(x_2)$ \\{2つの2次関数の大小関係(すべてとある)}}}} \\\\[.5zh] (1),\ (2)は,\ $\textcolor{red}{\underline{\textbf{同じ$\bm{x}$}}\ \bm{のときのf(x)とg(x)を比較する問題}}である.$ \\[.2zh] この場合,\ $\bm{\textcolor[named]{ForestGreen}{f(x)-g(x)<0}}\ と変形して,\ \bm{\textcolor[named]{ForestGreen}{h(x)=f(x)-g(x)}}\ とおく.$ \\[.2zh] \textbf{\textcolor{Purple}{図形的に考える}}ことで,\ $\bm{\textcolor{red}{y=h(x)\ と\ y=0\ (x軸)\ の上下関係の問題に帰着}}する.$ \\\\
(3),\ (4)は,\ $\bm{\textcolor{red}{\underline{\textbf{異なる$\bm{x}$}}\ のときのf(x)とg(x)を比較する問題}}である.$ \
問題の条件は,\ 「-1\leqq x\leqq1\ のすべての実数xに対してh(x)<0\,」と同値である. \\[.2zh] 特定の実数xに対してh(x)<0となる条件ならば代入すれば済む. \\[.2zh] しかし,\ すべての実数xに対してh(x)<0となる条件は,\ \bm{図形的に考える}必要がある. \\[.2zh] h(x)<0は,\ 図形的にはy=h(x)のグラフがy=0\ (x軸)の下にあるということである. \\[.2zh] 結局,\ 「-1\leqq x\leqq1で常にh(x)<0\,」は,\ \bm{[\,h(x)\,(-\,1\leqq x\leqq1)の最\dot{大}値\,]<0}\ と言い換えれる. \\[.2zh] h(x)の軸はx=1で一定であるから,\ x=-\,1のとき最大で,\ このとき負ならば条件を満たす.
「ある実数x\,」は,\ 「すべての実数x\,」の否定である. \\[.2zh] つまり,\ h(x)<0\ (-\,1\leqq x\leqq1)を満たす実数xが\bm{1つでもあればよい}. \\[.2zh] \bm{[\,h(x)の最\dot{小}値]<0}\ であれば,\ 「ある実数xでh(x)<0」を満たす. \\[.2zh] h(x)は軸x=1で最小をとるから,\ このとき負ならば条件を満たす.
\bm{x_1とx_2をどのように選んでも,\ f(x_1)よりg(x_2)が大きくなければならない.} \\[.2zh] 要は,\ g(x_2)が最も小さく,\ f(x_1)が最も大きくなるように選んでも,\ f(x_1)<g(x_2)を満たせばよい. \\[.2zh] 逆に言えば,\ \bm{1つでもf(x_1)>g(x_2)となるようなx_1,\ x_2の組合せがあってはいけない.} \\[.2zh] 図形的には,\ \bm{f(x)の最\dot{大}値がg(x)の最\dot{小}値よりも小さくなければならない}ということである.
\bm{f(x_1)<g(x_2)となるx_1,\ x_2の組合せが1つでもあればよい.} \\[.2zh] それには,\ \bm{f(x)の最\dot{小}値がg(x)の最\dot{大}値よりも小さければよい.} \\[.2zh] このとき,\,f(x)が最小となるときのxをx_1,\ g(x)が最大となるときのxをx_2とすると条件を満たす.