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条件付き2変数関数の最大・最小問題では,\ 次の2点が重要である. \\[.5zh] [1]\ \ \textbf{\textcolor{red}{等式1つにつき,\ 文字を1個消去できる.}} \\[.5zh] [2]\ \ \textbf{\textcolor{red}{消去する文字の条件は,\ 残す文字の条件に変換する.}
(1)\ \ 等式が1つあるから,\ 文字を1個消去して1変数関数に帰着させることができる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 問題を見た時点で,\ 実質1変数関数だという認識をもってほしい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ x,\ yのどちらを消去してもよいが,\ y=とすると分数になるのでx=としてxを消去した. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ yの2次関数となるから平方完成して最小を求める.\ グラフの横軸はy,\ 縦軸はx^2+4y^2\,である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 可能な限り,\ そのときのx,\ yも答えておくことが望ましい.\ 与式に代入して検算もできる. \\[1zh] (2)\ \ yを消去してxのみの式にするのが自然である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ このとき,\ \bm{y\geqq0もxの条件に変換する}必要がある. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 結局,\ 0\leqq x\leqq\bunsuu23\ の範囲で2次関数の最大・最小を求める問題に帰着する. \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \ 最大・最小をとるときのyは,\ y=-\,3x+2に代入すると容易に求まる. \\[1zh] (3)\ \ 2次の条件式x^2+2y^2-x=0をx=に変形することは困難である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ x+y^2\,なので,\ \bm{y^2=に変形して代入する}と上手くxの1変数関数に帰着させられる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 一見すると,\ これ以上考慮すべき条件がないように感じる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ しかし,\ \bm{2乗を消去する場合,\ 隠れた条件y^2\geqq0に注意}が必要で,\ これをxの条件に変換する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ ここで,\ 2次不等式を解くことになる.\ \ (x-a)(x-b)\leqq0\ \Longleftrightarrow\ a\leqq x\leqq bである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 2次不等式の解法を未学習の人は,\ とりあえずそういうものだと思っておいてほしい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ -\bunsuu12x^2+\bunsuu12x\geqq0\ \Longleftrightarrow\ x^2-x\leqq0\ \Longleftrightarrow\ x(x-1)\leqq0\ \Longleftrightarrow\ 0\leqq x\leqq1 \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \ 結局,\ 0\leqq x\leqq1の範囲で2次関数の最大・最小を求める問題に帰着する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 最大・最小をとるときのyは,\ y^2=-\bunsuu12x^2+\bunsuu12x\ に代入すると容易に求まる.