直線$y=tx$との共有点を考えることにより,\ 次の曲線を媒介変数$t$を用いて表せ. $y²-{x³}{1-x}=0$ $x³+y³-3xy=0$ {ディオクレスのシッソイドとデカルトの正葉線} 曲線が見慣れないだけで前項と同様である. 原点(0,\ 0)はx={t²}{1+t²},\ y={t³}{1+t²}\ に含まれるから,\ 結局これだけが答えである. 曲線y²-{x³}{a-x}=0\ (a>0)をディオクレス(古代ギリシャの数学者)のシッソイドという. 疾走線とも呼ばれるが,\ 「疾走」に意味はなく,\ シッソイドを音訳しただけである. 中心( a2,\ 0)の円上にある点{A}と原点{O}を通る直線が直線x=aと交わる点を{B}とする. {OP=AB}を満たすような点{P}の軌跡がシッソイドである. $x³+y³-3xy=0$に$y=tx$を代入すると $x³+t³x³-3tx²=0$ { }よって $x²{(1+t³)x-3t}=0$ { }ゆえに $x=0$または$(1+t³)x-3t=0$ { }$(1+t³)x-3t=0$において,\ $t=-1$とすると$3=0$となり矛盾する. 前問の1+t²は常に正であったが,\ 1+t³はt=-1のとき0になるので安易に割ってはならない. 曲線x³+y³-3axy=0をデカルトの正葉線といい,\ y=-x-aを漸近線にもつ. あの「我思う、故に我在り」という命題を提唱した哲学者ルネ・デカルトが発見した曲線である.
