光は、2点を結ぶ経路のうち、通過に要する時間が最小となる経路を進む。
これをフェルマーの原理（最短時間の原理）という。
絶対屈折率 n₁, n₂ の2つの媒質が水平な境界面で接している。媒質1中の点Aから境界面までの距離を a、媒質2中の点Bから境界面までの距離を b とし、AとBの水平方向の距離を l とする。Aから出た光が境界面上の点Pで屈折してBへ進むとし、AからPまでの水平方向の距離を x とする。また、真空中の光速を c とする。
(1) 光がPを通るとき、AP, BPを a, b, x, l を用いて表せ。
(2) 境界面上でPから水平方向に微小距離 Δx だけずれた点をQとする。
ただし、PからB側への変位を正とする。
|Δx| が十分に小さいとき、(Δx)² を無視し、
√(1+X) ≈ 1 + X/2 (|X| ≪ 1)
を用いて、AQ, BQをそれぞれ Δx の1次までの近似式で表せ。
(3) 光がPを通るときの所要時間を T、Qを通るときの所要時間を T′ とする。
T′−T を Δx の1次までの近似式で表せ。
(4) フェルマーの原理より、実際の光路APBでは所要時間が最小となる。
Δx は正負のどちらの値もとりうることを利用して、
n₁x/√(a²+x²) = n₂(l−x)/√{b²+(l−x)²}
が成り立つことを示せ。
(5) AP, PBが境界面の法線となす角をそれぞれ θ₁, θ₂ とする。
(4)の結果から、屈折の法則
n₁sinθ₁ = n₂sinθ₂
が導かれることを示せ。
フェルマーの原理による屈折の法則の導出
(1) 三平方の定理より
AP = √(a²+x²)
BP = √{b²+(l−x)²}
(2) (Δx)² を無視し、
√(1+X) ≈ 1 + X/2 (|X| ≪ 1)
を用いると、
AQ
= √{a²+(x+Δx)²}
= √{a²+x²+2xΔx+(Δx)²}
≈ √(a²+x²+2xΔx)
= √(a²+x²) √{1+2xΔx/(a²+x²)}
≈ √(a²+x²){1+xΔx/(a²+x²)}
= √(a²+x²) + xΔx/√(a²+x²)
よって、
AQ ≈ √(a²+x²) + {x/√(a²+x²)}Δx
同様に、
BQ
= √{b²+(l−x−Δx)²}
= √{b²+(l−x)²−2(l−x)Δx+(Δx)²}
≈ √{b²+(l−x)²−2(l−x)Δx}
= √{b²+(l−x)²} √{1−2(l−x)Δx/[b²+(l−x)²]}
≈ √{b²+(l−x)²}
× {1−(l−x)Δx/[b²+(l−x)²]}
= √{b²+(l−x)²}
− {(l−x)/√{b²+(l−x)²}}Δx
√(1+X) (|X| ≪ 1) の形を作るため、√(a²+x²) を根号の外に出す。
|Δx| が十分に小さいから、
|2xΔx/(a²+x²)| ≪ 1
である。
BQの式は、
l−x−Δx = (l−x)+(−Δx)
と考えると、AQの式と本質的に同じ形である。
よって、実際には計算せずとも、AQの式で
a → b
x → l−x
Δx → −Δx
と置換するだけでよい。
(3) 絶対屈折率 n=c/v より、媒質1、媒質2中の光速はそれぞれ c/n₁, c/n₂ である。
T
= AP/(c/n₁) + BP/(c/n₂)
= (n₁/c)AP + (n₂/c)BP
T′
= AQ/(c/n₁) + BQ/(c/n₂)
= (n₁/c)AQ + (n₂/c)BQ
(2)より、
T′−T
= (n₁/c)(AQ−AP) + (n₂/c)(BQ−BP)
≈ (1/c){n₁x/√(a²+x²) − n₂(l−x)/√[b²+(l−x)²]}Δx
(4) フェルマーの原理より T が最小となるから、常に T′−T ≧ 0 でなければならない。
Δx の正負によらず T′−T ≧ 0 となるための条件は、Δx の項の係数が0となることである。
(3)より、
n₁x/√(a²+x²)
= n₂(l−x)/√{b²+(l−x)²}
(5) 直角三角形APHより、
sinθ₁
= PH/AP
= x/√(a²+x²)
直角三角形BPKより、
sinθ₂
= PK/BP
= (l−x)/√{b²+(l−x)²}
(4)より、
n₁sinθ₁ = n₂sinθ₂
【発展】数IIIの微分を用いた導出
光が点Pを通るときの所要時間 T は、
T = (n₁/c)√(a²+x²) + (n₂/c)√{b²+(l−x)²}
T が最小となるための条件は、
dT/dx
= (n₁/c)x/√(a²+x²)
− (n₂/c)(l−x)/√{b²+(l−x)²}
= 0
よって、
n₁x/√(a²+x²)
= n₂(l−x)/√{b²+(l−x)²}
スネルの法則はホイヘンスの原理からも導けるが、フェルマーの原理を用いると、光が「最短時間経路を進む」という考えから、反射の法則や屈折の法則を統一的に導くことができる。
