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直線$y=t(x+1)$との共有点を考えることにより,\ 円$x^2+y^2=1\ (x\neqq-\,1)$を媒介 \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ 変数$t$を用いて表せ. \\[1zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ $t=\tan\bunsuu{\theta}{2}\ (-\,\pi<\theta<\pi)$とするとき,\ (1)の$x,\ y$を$\theta$で表せ. \\
直線群による媒介変数表示
(1)\ \ tの値によらずx=-\,1のときy=0より,\ y=t(x+1)は\bm{定点(-\,1,\ 0)を通る直線}である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ この直線と円x^2+y^2=1は,\ \mathRM{A}(-\,1,\ 0)と他の1点\mathRM{P}で交わる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 共有点の座標がtの式として求まり,\ これで円が媒介変数tで表されたことになる. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 連立するとxの2次方程式となるが,\ xで整理する必要はない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ x=-\,1を解にもつはずであるからx+1をくくり出せるはずであり,\ それを見越して変形する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 常に1+t^2>0より,\ 1+t^2\,で割ることができる. \\[1zh] (2)\ \ 公式\ \tan\alpha=\bunsuu{\sin\alpha}{\cos\alpha}\ を適用した後,\ 分母分子に\ \cos^2\bunsuu{\theta}{2}\ を掛ける. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ 分母は\ \cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1\ の形,\ 分子は2倍角の公式\ \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\ を逆に用いる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ yは,\ 2倍角の公式\ \sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\ を逆に用いる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ こうして,\ (x,\ y)=(\cos\theta,\ \sin\theta)\ という最も代表的な媒介変数表示が得られる. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 図において,\ \angle\mathRM{POH}=\theta\ のとき,\ \angle\mathRM{PAH}=\bunsuu{\theta}{2}\ である(中心角は円周角の2倍). \\[.4zh] \phantom{(1)}\ \ 一般に,\ (直線の傾き)=(x軸とのなす角の\tan)であるから,\ t=\tan\bunsuu{\theta}{2}\ となるわけである.
直線$y=-\,x+t$との共有点を考えることにより,\ 双曲線$x^2-y^2=1$を媒介変数$t$を \\[.2zh] \hspace{.5zw}用いて表せ.
$x^2-y^2=1$に$y=-\,x+t$を代入して整理すると $\textcolor{red}{2tx=t^2+1}$ \\[.5zh] $t=0$のとすると$0=1$となり矛盾するから 
直線が漸近線と同じ傾きであるとき,\ 直線と双曲線はただ1点で交わる. \\[.2zh] よって,\ そのような直線群と双曲線の共有点を考えることで,\ 双曲線の媒介変数表示が得られる. \\[.2zh] 途中,\ t\neqq0を確認した上でtで割ること. \\[.2zh] x=\bunsuu{t^2+1}{2t}\ と答えてもよいが,\ 双曲線の媒介変数表示としてよくある\ x=\bunsuu12\left(t+\bunsuu1t\right)\ の形にした. \\[.8zh] t=0のときの直線y=-\,xは,\ 漸近線と一致するから交点をもたない.\ t\neqq0の図形的意味である.