aを整数に限らない場合、曲線は複雑になる。
極方程式r=sin(nθ/d)で表される曲線の例を示す。

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極方程式の対称性と周期性}}}{始線($\bm{x}$軸)に関して対称}極を通り,\ 始線に垂直な直線($\bm{y}$軸)に関して対称}} \\[.5zh] 周期}\,
極座標平面上の点(r,\ \theta)を考える.\ ただし,\ 便宜的に軸は直交座標のxy軸を図示している. \\[.2zh] 点(r,\ \theta)のx軸に関する対称点の極座標は,\ (r,\ -\,\theta)である. \\[.2zh] 点(r,\ \theta)のy軸に関する対称点の極座標は,\ (r,\ \pi-\theta)である. \\[.2zh] そして,\ (r,\ -\,\theta)と(r,\ \pi-\theta)は極\text Oに関して点対称の位置にある. \\[1zh] さて,\ 極方程式では,\ r<0の場合は逆向きに\zettaiti r進んだ点と考えるのであった. \\[.2zh] よって,\ (r,\ -\,\theta)と(-\,r,\ \pi-\theta),\ \ (-\,r,\ -\,\theta)と(r,\ \pi-\theta)はそれぞれ同一点を表す. \\[.2zh] ゆえに,\ x軸,\ y軸に関して対称となる条件には2通りのパターンが生じることになる. \\[1zh] \theta\,を-\theta\,に変えてもrが変わらなければ,\ 点(r,\ \theta)と点(r,\ -\,\theta)が同一曲線上にあることになる. \\[.2zh] \theta\,を\,\pi-\theta\,に変えると-rになるならば,\ 点(r,\ \theta)と点(-\,r,\ \pi-\theta)が同一曲線上にあることになる. \\[.2zh] これらは,\ 曲線r=f(\theta)がx軸対称であることを意味する. \\[.2zh] r=f(\theta)において\,\theta\,を-\theta\,に変えてもrが変わらないことは,\ f(-\,\theta)=f(\theta)と表現できる. \\[.2zh] r=f(\theta)において\,\theta\,を\,\pi-\theta\,に変えると-rになることは,\ f(\pi-\theta)=-\,f(\theta)と表現できる. \\[.2zh] 仮にf(-\,\theta)\neqq f(\theta)であったとしても,\ f(\pi-\theta)=-\,f(\theta)ならばx軸対称性をもつ(逆も同様). \\[1zh] \theta\,を\,\pi-\theta\,に変えてもrが変わらなければ,\ 点(r,\ \theta)と点(r,\ \pi-\theta)が同一曲線上にあることになる. \\[.2zh] \theta\,を-\theta\,に変えると-rになるならば,\ 点(r,\ \theta)と点(-\,r,\ -\,\theta)が同一曲線上にあることになる. \\[.2zh] これらは,\ 曲線r=f(\theta)がy軸対称であることを意味する. \\[.2zh] r=f(\theta)において\,\theta\,を\,\pi-\theta\,に変えてもrが変わらないことは,\ f(\pi-\theta)=f(\theta)と表現できる. \\[.2zh] r=f(\theta)において\,\theta\,を-\theta\,に変えると-rになることは,\ f(-\,\theta)=-\,f(\theta)と表現できる. \\[1zh] \theta\,を\,\theta+\alpha\,に変えてもrが変わらなければ,\ r=f(\theta)\,は周期\,\alpha\,の曲線である. \\[.2zh] 特に\,\alpha=\pi,\ つまり\,\bm{f(\theta+\pi)=f(\theta)\,のとき,\ 曲線r=f(\theta)は極\textbf{O}に関する点対称性をもつ.} \\[.2zh] 点(r,\ \theta)と点(r,\ \theta+\pi)が極\text Oに関して点対称だからである. \\[.2zh] 特に\,\alpha=2\pi,\ つまり\,f(\theta+2\pi)=f(\theta)\,のとき,\ r=f(\theta)\,は周期\,2\alpha\,の曲線である. \\[.2zh] このとき,\ 0\leqq\theta\leqq2\pi,\ 2\pi\leqq\theta\leqq4\pi,\ 4\pi\leqq\theta\leqq6\pi,\ \cdots\ のそれぞれの範囲で全く同じ曲線を描く. \\[.2zh] よって,\ 0\leqq\theta\leqq2\pi\ の範囲でのみ考えればよい.
次の極方程式で表される曲線の概形を描け. \正葉曲線の極方程式}}}} \\\\[.5zh] 極方程式{\large $\bm{\textcolor{red}{r=\sin a\theta}}$}で表される曲線を\textbf{\textcolor{blue}{正葉曲線}}(バラ曲線;Rose Curve)負角の公式\ \sin(-\,\theta)=-\sin\theta}\,]$} \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ よって,\ \textcolor{red}{$r=f(\theta)$は極を通り,\ 始線に垂直な直線に関して対称}である. \$は始線に関して対称}である.
\sin,\ \cos\,がある場合,\ 先に\bm{対称性・周期性を確認}し,\ 最小限の労力で図示する. \\[.2zh] 実際には,\ \theta\,を-\theta\,や\,\pi-\theta\,に変えたときに元のf(\theta)との関係がどうなるかを確認する. \\[.2zh] 結局,\ 0\leqq\theta\leqq\bunsuu{\pi}{2}\ で考えれば済む.\ 2\theta\,なので,\ \bunsuu{\pi}{12},\ \bunsuu{5}{12}\pi\,のときの値も簡単に求められる. \\\\
正葉曲線は極方程式の代表なので,\ 概形と次の事実を覚えておくことが望ましい. \\[.2zh] \bm{正葉曲線r=\sin a\theta\ の花びらは,\ aが偶数のとき2a枚,\ aが奇数のときa枚となる.} \\[1zh] 単に図示するだけならばここまででよいのだが,\ この曲線を真に理解したことにはならない. \\[.2zh] 真に理解してもらうために,\ あえて\ \bunsuu{\pi}{2}\leqq\theta\leqq2\pi\ の表も示した.\ 特に注意すべきは次の点である. \\[.6zh] 極方程式では,\ r<0の場合は逆向きに\zettaiti r進んだ点と考えるのであった. \\[.4zh] 例えば,\ (r,\ \theta)=\left(-\bunsuu12,\ \bunsuu{7}{12}\pi\right)=\left(\bunsuu12,\ \bunsuu{19}{12}\pi\right)として点をとることになる. \\[.8zh] 結果,\ \bm{\bunsuu{\pi}{2}\leqq\theta\leqq\pi\,に対応するのが右下,\ \bunsuu32\pi\leqq\theta\leqq2\pi\,に対応するのが左上の曲線}となる. \\[.8zh] また,\ 図の赤い番号順に点をたどるのが正葉曲線の正しい書き順といえる.\ 対応を確認してほしい. \\[1zh] f(\theta+\pi)=\sin2(\theta+\pi)=\sin(2\theta+2\pi)=\sin2\theta=f(\theta)\ より,\ r=\sin2\theta\,は周期\,\pi\,の曲線でもある. \\[.2zh] よって,\ 0\leqq\theta\leqq\pi\,の右半分を繰り返したのが\,\pi\leqq\theta\leqq2\pi\,の左半分とみなすこともできる.
f\hspace{-.2zw}\left(\theta+\bunsuu23\pi\right)=f(\theta)より,\ r=\sin3\theta\,は周期\,\bunsuu23\pi\,の曲線であるとわかる. \\[.8zh] 3を掛けると2\pi\,になるので,\ \theta\,を\,\theta+\bunsuu23\pi\,に変えてみたわけである. \\[.6zh] 結局,\ 0\leqq\theta\leqq\bunsuu23\pi\,の表さえ作成すれば済む.\ ここでは2\pi\,までの表を示しておいた. \\[.6zh] 3\theta\,なので\,\theta=\bunsuu{\pi}{18}\,などのときも\sin3\theta=\bunsuu12\,のように簡単な点になるが,\ 面倒なので省略した. \\\\
まず,\ 0\leqq\theta\leqq\bunsuu23\pi\,のときの曲線が青とピンクの部分になることを確認してほしい. \\[.6zh] その部分を半直線\,\theta=\bunsuu23\pi\,から繰り返すと,\ \bunsuu23\pi\leqq\theta\leqq\bunsuu43\pi\,のときの曲線が描かれる. \\[.8zh] \bunsuu23\pi\leqq\theta\leqq\pi\,のとき水色の曲線,\ \pi\leqq\theta\leqq\bunsuu43\pi\,のとき青色の曲線(二周目)となる. \\[.6zh] さらに半直線\,\theta=\bunsuu43\pi\,からも繰り返すと,\ \bunsuu43\pi\leqq\theta\leqq2\pi\,のときの曲線が描かれる. \\[.8zh] \bunsuu43\pi\leqq\theta\leqq\bunsuu53\pi\,のときピンクの曲線(二周目),\ \bunsuu53\pi\leqq\theta\leqq2\pi\,のとき水色の曲線(二周目)となる. \\\\
以下が成立するから,\ r=f(\theta)は極を通り,\ 始線に垂直な直線に関して対称であることもわかる.のときの曲線が重なることを意味している.